Раздел 2. Финансовая арифметика.
В этом разделе:
Простые проценты
Сложные проценты
Непрерывные проценты
Простые проценты – это схема начисления или учёта денег, в которой приращение капитала на каждом периоде неизменно. Скажем, при = 20% и начальной сумме 1000 получаем следующие суммы через одинаковые периоды начисления: 1200 –- 1400 –- 1600 и т.д.
,
, <-- (здесь
)
,
...
...
и т. д.
Получаем формулу:
(1.1)
Формула (1.1) называется наращиваемой суммой по годовой ставке простых процентов за n лет.
Найдём
стоимость этих денег на один год раньше,
т.е.
из формулы
:
.
Теперь на два года раньше:
.
Тогда получаем следующую общую формулу:
(1.2)
Формула
(1.2) называется наращенной суммой, а
обозначение
в формуле (1.2) называется современной
(т.е. текущей) суммой. Тут важно подчеркнуть,
что
может быть любым, необязательно целым.
Ряд наращенных или дисконтированных денежных сумм представляет собой арифметическую прогрессию. Графиком наращения является прямая с положительным угловым коэффициентом.
02.02.2012 Лекция |
Пример 1.
Начальная
сумма
т. р.
Процентная
ставка
Найти:
наращенную сумму через 2,5 года:
.
Решение:
т. р.
Это операция наращения, поэтому дисконта здесь нет, а есть приращение капитала: 750 – 500 = 250.
Пример 2.
Вексель номиналом 700 т. р. и сроком погашения 31 декабря 2012 года учитывается сегодня (2 февраля 2012 года) по годовой учётной ставке . Какую сумму получит держатель векселя?
Номинал
векселя – это конечная сумма, а не
начальная, т.е.
т. р. Тогда
.
А сегодня
.
Нужно найти современную стоимость, т.е.
сколько стоят эти деньги сейчас. Это
операция дисконтирования или учёта.
Вектор этой операции противоположен
вектору операции наращения.
Найдём
срок: 31 декабря 2012 – 2 февраля 2012 равно
333 дня.
дней.
Но нам надо выразить всё в годах: 333 / 366
= 0,9098 года. Для нашей формулы это
т. р.
Итого:
т. р.
Пример 3:
Посчитаем коэффициенты наращения k:
,
Ответ:
.
Переменные ставки простых процентов
Исходя из предыдущего примера, выделим общую формулу для подсчёта коэффициента начисления при переменной ставке.
Коэффициент наращения по переменным ставкам простых процентов имеет вид:
Сложные проценты
В
сложных процентах при
и
деньги будут расти по следующей
последовательности: 1000 – 1500 – 2250 – 3375
– 5062. Т.е. каждая следующая сумма в
полтора раза больше предыдущей.
Схема сложных процентов предполагает, что коэффициент наращения или дисконтирования на всём промежутке начисления или учёта процентов остаётся неизменным.
Ряд наращенных сумм по сложным процентам представляет собой геометрическую прогрессию. Графиком наращения или дисконтирования является экспонента, или, по-другому, показательная функция.
Выведем формулы.
– наша начальная сумма
В общем виде наращенная сумма по сложным процентам равна:
Теперь выведем формулу дисконтирования.
За шагов добираемся до
В общем виде современная стоимость денег по сложным процентам равна:
Решим примеры 1 и 2 по сложным процентам.
Пример 3.
Начальная сумма т. р.
Процентная ставка
Найти:
наращенную сумму через
года:
.
Решение:
т. р.
Пример 4.
Вексель номиналом 700 т. р. и сроком погашения 31 декабря 2012 года учитывается сегодня (2 февраля 2012 года) по годовой учётной ставке . Какую сумму получит держатель векселя?
т. р.
года.
т. р.