Додаток г Перевірка гіпотези нормальності розподілу

Метод середнього абсолютного відхилення (САВ).

Для не дуже великих вибірок (n<120) можна застосувати прості рекомендації по перевірці нормальності розподілу випадкових величин.

Для вживання цього методу необхідно визначити величини S (СКВ при невідомому середньому арифметичному значенні) і САВ:

,

Для вибірки, що має приблизно нормальний закон розподілу, повинне бути справедливе співвідношення

Якщо приведене співвідношення дотримується, то гіпотеза нормальності розподілу приймається.

Метод розмаху варіювання (R).

Для порівняно широкого класу вибірок 3<n<1000 можна виконати перевірку нормальності розподілу з використанням розмаху варіювання R. Величину R визначають за формулою R = x_max  x_min .

Потім визначають відношення R/S і зіставляють його з критичними верхніми _в і нижніми _н межами цього відношення, при заданій вірогідності розподілу помилок. Якщо _в<R/S<_н , то нормального розподілу немає. Гіпотеза нормальності розподілу підтверджується, якщо _н<R/S<_в .

Таблиця Г1. Критичні межі відношення R/S

Об'єм виборки n	Нижні границі (н )			Верхні границі (в )
	Вірогідність помилки
	0,01	0,05	0,1	0,01	0,05	0,1
3	1,737	1,758	1,782	2,000	1,999	1,997
5	2,020	2,150	2,220	2,803	2,753	2,712
7	2,260	2,400	2,490	3,338	3,222	3,143
10	2,510	2,670	2,760	3,875	3,685	3,570
15	2,800	2,970	3,070	4,440	4,170	4,020
20	2,990	3,180	3,290	4,800	4,490	4,320
50	3,620	3,830	3,950	5,770	5,350	5,140
100	4,100	4,310	4,440	6,360	5,900	5,680

Метод аналізу показників асиметрії і ексцесу.

Деяке уявлення про близькість емпіричного розподілу до нормального закону розподілу може дати аналіз показників асиметрії і ексцесу.

Для вживання цього методу необхідно визначити наступні величини:

• центральні моменти розподілу другого (m₂), третього (m₃) і четвертого (m₄) порядків:

; ; ;

• показник асиметрії g₁:

;

• показник ексцесу (відхилення) g₂ :

;

• незміщені оцінки для показників g₁ і g₂ :

; ;

• СКВ для показників g₁ і g₂ :

; .

Після виконання розрахунків проводиться порівняння величин незміщеної оцінки і СКВ для величин g₁ і g₂. Якщо виконується умова и , тоді гіпотеза нормальності розподілу приймається (підтверджується).

Метод перевірки нормальності розподілу за допомогою критерію згоди Колмогорова-Смірнова (КС критерій).

Цей метод подібний критерію згоди ², за винятком того, що для розрахунку К-С критерію використовуються накопичені абсолютні і очікувані частоти.

Для вживання цього методу необхідно визначити величину

,

де F_n - накопичена спостережувана частота результатів вимірювання, F₀ – накопичена очікувана частота результатів вимірювання.

Величина F_n для кожного інтервалу визначається підсумовуванням спостережуваної частоти m даного інтервалу і всіх попередніх інтервалів (наприклад, F_n для другого інтервалу = m₂ + m₁; F_n для третього інтервалу = m₃ + m₂ + m₁). Так само визначається і величина F₀: для другого інтервалу F₀ = np₂ + np₁; для третього інтервалу F₀ = np₃ + np₂ + np₁ і т.д.

Результати розрахунку заносять в таблицю (як приклад визначення F_n  F₀ див. табл. Г 2), визначають найбільше абсолютне значення різниці F_n  F₀, обчислюють величину D і порівнюють її з табличним значенням критерію, табл. Г 3. Гіпотеза про нормальний закон розподілу приймається, якщо D  D_кр .

Таблиця Г 2. Приклад виконання розрахунків

Параметр	Величина по інтервалах
m	7	5	8	10	18	17	12	9	7	7
Fn	7	12	20	30	48	65	77	86	100	93
np	5,33	5,79	9,29	12,83	15,20	15,39	13,45	10,05	6,23	6,44
F0	5,33	11,12	20,41	33,24	48,44	63,83	77,28	87,33	100	93,77
Fn  F0	1,67	0,88	0,41	3,24	0,44	1,17	0,28	1,33	0,00	0,77

Розрахунок: max F_n  F₀ = 3,24; D = 3,24/100 = 0,0324.

Таблиця Г 3. Критичні D_кр значення К-С критерію

n	D0,1	D0,05
3	0,636	0,708
5	0,509	0,563
7	0,436	0,483
10	0,369	0,409
15	0,304	0,338
20	0,265	0,294
50	0,170	0,177
100	0,121	0,134

Для нашого прикладу розрахована величина D=0,0324 набагато менше критичну величину D_0,1=0,636, прийнятої з досить жорстким 10 % рівнем вірогідності. Таким чином, можна зробити висновок, що гіпотеза про нормальність розподілу приймається.

Метод перевірки з використанням критерію відповідності ².

Якщо результати експерименту викликають сумнів в нормальності закону розподілу випадкових помилок, то для вирішення питання про придатність або непридатність нормального закону розподілу треба провести достатньо велике число вимірювань.

Результати вимірювань (зрозуміло, вільні від систематичних помилок) групують по інтервалах так, щоб ці інтервали покривали всю вісь (, +) і щоб кількість даних в кожному інтервалі була достатньо великою (в усякому разі, не менше п'яти, краще десяти). Для кожного інтервалу (x_і1, x_i) підраховують число m_i результатів вимірювання, що потрапили в цей інтервал. Потім обчислюють вірогідність p_i попадання в цей інтервал при нормальному законі розподілу вірогідності:

, (1)

де - середнє арифметичне значення результатів вимірювання, s - емпіричний стандарт (середня квадратична помилка), Ф - інтеграл вірогідності, який визначається за відомою формулою (2) і представлений таблицями Г5 і Г6.

(2)

Для визначення критерію "²" обчислюють суму

, (3)

де - число усіх інтервалів (, х₁), (х₁, х₂), … , (x_i-1, ), n - число усіх результатів вимірювань (n = m₁ + m₂ + … + m_l).

Якщо сума, визначувана виразом (3), виявиться більше критичного значення ² по таблиці Г7 при деякій довірчій вірогідності R і числі ступенів свободи к =l-3, то з надійністю R можна вважати, що розподіл вірогідності випадкових помилок в даній серії вимірювань відрізняється від нормального. Інакше для такого висновку немає достатніх підстав.

За відсутності достатніх підстав для того, щоб відкинути гіпотезу про нормальний розподіл випадкових помилок вимірювання, ця гіпотеза приймається, оскільки в звичних ситуаціях ця гіпотеза часто може бути обґрунтована теоретично.

Наголосимо ще на важливій властивості критерію ². Якщо розподіл відмінний від нормального, то при достатньо великому числі вимірювань сума, визначена по виразу (3), перевищить відповідне критичне значення ². 

Тому, якщо при проведеному числі вимірювань критерій ² дав малу надійність, слід суттєво збільшити число вимірювань (у декілька разів!).

Вказане вище число ступенів свободи k=l-3 відноситься тільки до того випадку, коли обидва параметри нормального закону розподілу визначаються за наслідками вимірювань, тобто коли замість точних значень а (істинних значень) і  застосовуються їх емпіричні значення і S. Якщо значення а точно відомо (наприклад, при вимірюванні еталона), то число ступенів свободи рівне к=l-2, якщо відомо обидва параметри а і , то число ступенів свободи рівне k=l-1. На практиці така ситуація зустрічається рідко, і тому для отримання числа ступенів свободи не менше п'яти треба брати число інтервалів не менше восьми.

На закінчення помітимо, що ефективність критерію ² підвищується, якщо в кожний з виділених інтервалів потрапляє приблизно однакова кількість даних. Це слідує враховувати при угрупуванні первинного матеріалу (якщо можливо).

Приклад розрахунку вірогідності для вживання критерію ². Візьмемо ряд результатів вимірювань в кількості 100 шт. Ряд включає послідовні величини від 8,275 до 8,975. Значення параметрів розподілу для нього вже були підраховані по відомих залежностях: = 8,63, s = 0,127. Для вживання критерію ² об'єднаємо крайні інтервали, щоб число даних в кожному інтервалі стало не менше п'яти. Одержані дані представлені у перших двох стовпцях табл. Г4. Крайні інтервали узяті нескінченними. В третьому стовпці підраховані відношення

для правих кінців інтервалів, наприклад, t₁ = (8,425-8,63)/0,127 = 1,614. В четвертому стовпці приведені відповідні значення інтеграла вірогідності Ф(t_i) з табл. Г5. При цьому проведена лінійна інтерполяція. По значеннях Ф(t_i) в п'ятому стовпці обчислена вірогідність p_i, як різниці відповідних значень Ф(t):

p_i = Ф(t_i)  Ф(t_i-1);

наприклад, р₂ = 0,3888  (0,4467) = 0,0579. При обчисленні вірогідності p₁ враховане, що Ф()= 0,5. Останні стовпці таблиці не потребують пояснення. Сума чисел останнього стовпця дає значення ² = 2,528.

Таблиця Г 4. Результати обробки

Інтервали	mi	ti	Ф(ti)	pi	minpi	(minpi)2 npi
(xi-1; xi)
( ; 8,425)	7	- 1,614	- 0,4467	0,0533	1,67	0,523
(8,425; 8,475)	5	- 1,220	- 0,3888	0,0579	- 0,79	0,108
(8,475; 8,525)	8	- 0,827	- 0,2959	0,0929	- 1,29	0,179
(8,525; 8,575)	10	- 0,433	- 0,1676	0,1283	- 2,83	0,624
(8,575; 8,625)	18	- 0,039	- 0,0156	0,1520	2,80	0,516
(8,625; 8,675)	17	0,354	0,1383	0,1539	1,61	0,168
(8,675; 8,725)	12	0,748	0,2728	0,1345	- 1,45	0,157
(8,725; 8,775)	9	1,142	0,3733	0,1005	- 1,05	0,110
(8,775; 8,825)	7	1,536	0,4377	0,0644	0,56	0,048
(8,825; +)	7	+ 	0,5000	0,0623	0,77	0,095
Суми	100=n	---	---	1,0000	---	2,528=2

Порівняння цього значення з таблиці Г4 з критичними значеннями з таблиці Г7 при числі ступенів свободи k=10-3=7 показує, що величина ² менше критичних значень для вибраних ступенів надійності і тому немає підстав сумніватися в нормальності розподілу результатів вимірювання.

Таблиця Г5. Значення інтеграла вірогідності , Ф(t) = Ф(t)

t	Сотые доли t
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,0000	0040	0080	0120	0160	0199	0239	0279	0319	0359
0,1	0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0753
0,2	0793	0832	0871	0910	0948	0987	1026	1064	1103	1141
0,3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517
0,4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879
0,5	1915	1950	1985	2019	2054	2088	2123	2157	2190	2224
0,6	2257	2291	2324	2357	2389	2422	2454	2486	2517	2549
0,7	2580	2611	2642	2673	2703	2734	2764	2794	2823	2852
0,8	2881	2910	2939	2967	2995	3023	3051	3078	3106	3133
0,9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389
1,0	3413	3437.	3461	3485	3508	3531	3554	3577	3599	3621
1,1	3643	3665	3686	3708	3729	3749	3770	3790	3810	3830
1,2	3849	3869	3888	3907	3925	3944	3962	3980	3997	4015
1,3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4131	4147	4162	4177
1,4	4192	4207	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4319
1,5	4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4429	4441
1,6	4452	4463	4474	4484	4495.	4505	4515	4525	4535	4545
1,7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4608	4616	4625	4633
1,8	4641	4649	4656	4664	4671	4678	4686	4693	4699	4706
1,9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4761	4767
2,0	4772	4778	4783	4788	4793	4798	4803	4808	4812	4817
2,1	4821	4826	4830	4834	4838	4842	4846	4850	4854	4857
2,2	4861	4864	4868	4871	4875	4878	4881	4884	4887	4890
2,3	4893	4896	4898	4901	4904	4906	4909	4911	4913	4916
2,4	4918	4920	4922	4925	4927	4929	4931	4932	4934	4936

Таблиця допускає лінійну інтерполяцію з помилкою до 10^-4.

Наприклад необхідно обчислити Ф(1,614). Рішення. Беремо з таблиці два значення Ф(1,61)= 0,4463 і Ф(1,62)= 0,4474 з різницею 0,0011 і вводимо поправку на відносний приріст аргументу (1,614-1,61) /0,01 =0,4:

Ф(1,614)= Ф(1,61)+ 0,0011Ч0,4 = 0,4467.

Продовження таблиці для значень t  2,5 см. в табл. П3.

Таблиця Г6. Величини, пов'язані з інтегралом вірогідності Ф (t); функція t = t(R) є зворотною для R = 2Ф(t)

t	Ф(t)	12Ф(t)	1R	t = t(R)	R
2,5	0,49379	0,01242	0,05	1,960	0,95
2,6	0,49534	0,00932	0,04	2,054	0,96
2,7	0,49653	0,00693	0,03	2,170	0,97
2,8	0,49744	0,00511	0,02	2,326	0,98
2,9	0,49813	0,00373	0,01	2,576	0,99
3,0	0,49865	0,00270	0,009	2,612	0,991
3,1	0,49903	0,00194	0,008	2,652	0,992
3,2	0,49931	0,00137	0,007	2,697	0,993
3,3	0,49952	0,00097	0,006	2,748	0,994
3,4	0,49966	0,00067	0,005	2,807	0,995
3,5	0,499767	0,000465	0,004	2,878	0,996
3,6	0,499841	0,000318	0,003	2,968	0,997
3,7	0,499892	0,000216	0,002	3,090	0,998
3,8	0,499927	0,000145	0,001	3,291	0,999
3,9	0,499952	0,000096	0,0009	3,320	0,9991
4,0	0,499968	0,000063	0,0008	3,353	0,9992
4,1	0,499979	0,000041	0,0007	3,390	0,9993
4,2	0,499987	0,000027	0,0006	3,432	0,9994
4,3	0,499991	0,000017	0,0005	3,481	0,9995
4,4	0,499995	0,000011	0,0004	3,540	0,9996
4,5	0,4999966	0,0000068	0,0003	3,615	0,9997
4,6	0,4999979	0,0000041	0,0002	3,720	0,9998
4,7	0,4999987	0,0000025	0,0001	3,891	0,9999
4,8	0,4999992	0,0000016	105	4,417	1105
4,9	0,4999995	0,0000009	106	4,892	1106
5,0	0,4999997	0,0000006	107	5,327	1107

У таблиці значень Ф(t) помилка лінійної інтерполяції зменшується із збільшенням значень t; вона не перевершує:

10^-4- в інтервалі (2,5…3,2); 10^-5 - в інтервалі (3,2…3,9);

10^-6- в інтервалі (3,9…4,5); 10^-7- в інтервалі (4,5…5,0).

У таблиці значень t(R) інтерполяцію не проводять.

Таблиця Г7. Критичні значення ²при надійності R числі ступенів свободи k=n-3

k	Значення R
	0,80		0,90		0,95		0.98		0,99		0,995		0,998		0,999
4	5,99	7,78		9,49		11,67		13,28		14,9		16,9		18,5
5	7,29	9,24		11,07		13,39		15,09		16,3		18,9		20,5
6	8,56	10,64		12,59		15,03		16,8		18,6		20,7		22,5
7	9,80	12,02		14,07		16,6		18,5		20,3		22,6		24,3
8	11,03	13,36		15,51		18,2		20,1		21,9		24,3		26,1
9	12,24	14,68		16,9		19,7		21,7		23,6		26,1		27,9
10	13,44	15,99		18,3		21,2		23,2		25,2		27,7		29,6
11	14,63	17,3		19,7		22,6		24,7		26,8		29,4		31,3
12	15,8	18,5		21,0		24,1		26,2		28,3		31,0		32,9
13	17,0	19,8		22,4		25,5		27,7		29,8		32,5		34,5
14	18,2	21,1		23,7		26,9		29,1		31,3		34,0		36,1
15	19,3	22,3		25,0		28,3		30,6		32,7		35,6		37,7
16	20,5	23,5		26,3		29,6		32,0		34,2		37,1		39,3
17	21,6	24,8		27,6		31,0		33,4		35,7		38,6		40,8
18	22,8	26,0		28,9		32,3		34,8		37,2		40,1		42,3
19	23,9	27,2		30,1		33,7		36,2		38,6		41,6		43,8
20	25,0	28,4		31,4		35,0		37,6		40,0		43,1		45,3
22	27,3	30,8		33,9		37,7		40,3		42,7		45,9		48,3
24	29,6	33,2		36,4		40,3		43,0		45,5		48,7		51,2
26	31,8	35,6		38,9		42,9		45,6		48,2		51,5		54,1
28	34,0	37,9		41,3		45,4		48,3		51,0		54,3		56,9
30	36,3	40,3		43,8		48,0		50,9		53,7		57,1		59,7

Примітка. При k > 30 для критичного значення ² можна користуватися наближеним значенням

,

де t(R) береться з табл. Г6.

Наприклад, при R=0,99 маємо t(0,99)= 2,576; тому при k =100 критичне значення ² рівне: .