43

Министерство образования и науки Украины

Запорожская государственная инженерная академия

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики»

для студентов специальности 7.080403

"Программное обеспечение автоматизированных систем"

Запорожье 2001

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий

по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 7.080403 "Программное обеспечение автоматизированных систем"

/сост. д.ф.-м.н.,проф. Пожуев В.И.,ст. преп. Безверхий А.И., Запорожье, ЗГИА,2000, - 43с.

Составители:

д.ф.-м.н.,проф. Пожуев В.И.

ст. преп. Безверхий А.И.

Обсуждены на заседании

кафедры программного обеспечения и математического моделирования.

Протокол № 5

от 17 октября 2001 г.

Зав. кафедрой

проф. ____________ Пожуев В.И.

Методические указания для выполнения расчетно-графического

задания №1

Расчетно-графическое задание №1 посвящено решению уравнений в частных производных(УЧП) гиперболического типа методом Фурье. При этом сами уравнения, начальные и граничные условия – неоднородные. Для решения задачи необходимо подробно изучить разделы 4.4,4.5 учебного пособия [1]. Задание рекомендуется выполнять в следующем порядке:

1. Постановка задачи

Здесь формулируется задача, записывается уравнение, граничные

и начальные условия задачи.

2. Приведение уравнения в частных производных к простейшему виду

Этот пункт выполняется в том случае, когда в исходное УЧП кроме старших вторых частных производных входят и первые производные. Для упрощения выполняется замена неизвестной функции на новую(см. раздел 2.3 в [1]) по формуле

u(x,t)=e W(x,t)

Параметры  и  выбираются так, чтобы уравнение для W(x,t) не содержало первых частных производных. При этом, замену функции u(x,t) на функцию W(x,t) следует произвести и в начальных и в граничных условиях.

3. Переход к задаче с однородными граничными условиями

Так как метод Фурье применяется только для задач с однородными гранич­ными условиями, то такой переход необходим. Он осуществляется при помощи замены

W(x,t)=U(x,t)+V(x,t),

где функция U(x,t)должна удовлетворять только неоднородным граничным усло­виям. Проще всего эту функцию представить в виде линейной функции от х

U(x,t)=M(t)+xN(t),

при этом функции M(t) и N(t) определяются путем подстановки в заданные граничные условия и выражаются через правые части этих условий. Функция V(x,t) удовлетворяет однородным граничным условиям. После определения функции U(x,t), подставляем функцию W(x,t) в УЧП, начальные и граничные условия, и получаем задачу с однородными граничными условиями для функции V(x,t)

Начальные условия

V(x,0)=(x)

.

Граничные условия однородные.

При этом, неоднородность из граничных условий переходит в уравнение и в начальные условия.

4. Решение однородного учп с однородными граничными и неоднородными начальными условиями

Решение задачи для функции V(x,t) представляется в виде

V(x,t)=V(x,t)+V^*(x,t),

здесь V⁰(x,t) – удовлетворяет однородному УЧП, однородным граничным и начальным условиям;

V^*(x,t) – удовлетворяет неоднородному УЧП и однородным начальным и граничным условиям.

Вначале решаем УЧП для функцииV⁰(x,t) вида