1. Постановка задачи.

Рассмотрим движения конечной струны на упругом основании под действием внезапно приложенной на конце сосредоточенной силы Q₀

(1)

Начальные условия

(2)

Граничные условия

(3)

1. Переход к задаче с однородными граничными условиями

Избавимся от неоднородности в граничном условии

(4)

Где функция u удовлетворяет неоднородным граничным условиям. Ищем эту функцию в виде

Подставив в граничные условия (3), получим

Откуда

;

Тогда (5)

(6)

Подставляя (6) в (1),(2) и (3), получим

(7)

Начальные условия

(8)

Граничные условия

(9)

3. Приведение уравнения в частных производных к простейшему виду

Решение уравнения (7) ищем в виде

(10)

Подставляя (10) в уравнение (7) и условия (8) и (9), получим

(11)

(12)

Решение уравнения (11) представим в виде

, (13)

где

(14)

(15)

4. Решение однородного УЧП с однородными граничными и начальными условиями

Рассмотрим решение задачи (14)

(16)

Откуда (17)

Решение задачи Штурма - Лиувилля (17)

Из граничных условий получим

, тогдаи.

Так как , то .

Тогда

(18)

Собственная функция имеет вид

(19)

Из (16) получим

(20)

Решение уравнения (18) имеет вид

, (21)

где .

Общее решение задачи (14) представим в виде ряда

(22)

Разложим в ряд по собственным функциям правые части начальных условий (14)

(23)

Подставляя (20) в (21) и сравнивая коэффициенты рядов, получим

Тогда

(24)

5. Решение неоднородного учп с однородными начальными и граничными условиями

Решение задачи (15) имеем в виде разложения по собственным функциям

. (25)

Разложим в ряд по правую часть уравнения и подставим в него решение (25), получим

. (26)

Частное решение уравнения (26) ищем по виду правой части

(27)

Подставляя (27) в(26) и сравнивая коэффициенты при e^t получим

, откуда

Общее решение уравнения (26) имеет вид

(28)

Учитывая начальные условия

,

получим

,

.

Тогда

. (29)

Решение задачи (11) тогда имеет вид

С учетом (10) получим

. (30)

6. Сборка решения и построение графиков

Окончательно, с учетом (6), получим перемещения

Cкорости точек струны

.

Поперечная сила

Решение этой задачи при t стремится к стационарному решению

Для построения графиков зададим исходные данные задачи

Рис. 9. График функцииu(x,t) для t[0,1].

Рис. 10. График функции u(x,t) для t[1,2].

Рис. 11. График производной функцииu_t(x,t) для t[0,1].

Рис. 12. График производной функции u_t(x,t) для t[1,2].

Рис. 13. График производной функции u_x(x,t) для t[0,1].

Рис. 14. График производной функции u_x(x,t) для t[1,2].

Варианты расчётно-графического задание №1

1. Найти решение уравнения в частных производных методом Фурье.

2. Построить на компьютере графики функций: U(x,t), Ut(x,t), Ux(x,t) для 11 моментов времени в промежутке [0,tk].

CП-1

№ п/п	Уравнение	Начальные условия		Граничные условия		tk	L
		U(x,0)	Ut(x,0)	U(0,t)	U(L,t)
1	Utt-7Uxx-Ux=0	x-x2	0	0	sin(t/2)	2	1
2	Utt-4Uxx+2Ut=0	0	2x-x2	0	t3	1	2
3	Utt-5Uxx+x2sin(t)=0	2x-x2	0	0	t3/64	4	2
4	Utt-9Uxx-2sin(x/2)=0	2sin(x/2)	0	sin(t/2)	0	2	2
5	Utt-8Uxx-3xsin(t)=0	0	2sin(x/4)	t2/25	0	5	4
6	Utt-4Uxx+2Ut=0	0	3x(2-x)	2sin(t/3)	0	6	2
7	Utt-9Uxx+Ut+U=0	2sin(x/2)	0	t3+t2	0	1	2
8	Utt-4Uxx+x2cos(t/2)=0	2sin(x/4)	0	0	t2/4	4	4
9	Utt-2Uxx+2cos(t)=0	0	3x-x2	t4/16	0	2	4
10	Utt-4Uxx+Ut=0	0	4sin(x/2)	0	2sin(t/4)	4	2
11	Utt-3Uxx-Ux=0	3x-x2	0	t/4	0	4	3
12	Utt-7Uxx-2x2=0	2sin(x/2)	0	0	t2/9	3	4
13	Utt-12Uxx+2Ut=0	0	x2-4x	0	t2/4	2	4
14	Utt-4Uxx-Ux=0	0	4sin(x/2)	4sin(t/4)	0	2	2
15	Utt-3Uxx- x2cos(t)=0	x2-2x	0	0	sin(t/3)	3	2
16	Utt-2Uxx-x2=0	4x-x2	0	t2/4	0	2	4
17	Utt-6Uxx+Ut=0	0	2sin(x/3)	0	t2	2	3
18	Utt-4Uxx+Ux=0	2x-x2	-x/8	0	sin(t/4)	4	2
19	Utt-3Uxx-3cos(t)=0	2sin(x/3)	0	t/5	0	5	3
20	Utt-2Uxx-3x2=0	3x-x2	0	t3/8	0	2	3
21	Utt-4Uxx+2x2sin(t) =0	0	-4sin2(x)	t3/8	0	2	2
22	Utt-3Uxx+Ux=0	2sin(x/4)	0	t3/64	0	4	4
23	Utt-2Uxx+Ut=0	x2-2x	0	sin(t/2)	0	2	2
24	Utt-2Uxx+2e-t=0	x2-4x	1/4	t/4	0	4	4
25	Utt-4Uxx+Ut=0	2sin(x/4)	0	0	2sin(t/4)	4	4
26	Utt-4Uxx+2Ut=0	0	x(2-x)	sin(t/3)	0	6	2
27	Utt-Uxx+Ut+2U=0	sin(x/2)	0	t3+t	0	1	3
28	Utt-4Uxx+xcos(t/2)=0	2sin(x/4)	0	0	t2/4	4	4
29	Utt-5Uxx+cos(t)=0	0	3x-x2	t4/16	0	2	4
30	Utt-4Uxx+Ut=0	0	4sin(x/2)	0	2sin(t/4)	4	2

CП-2

№п/п	Уравнение	Начальные условия		Граничные условия		tk	L
		U(x,0)	Ut(x,0)	U(0,t)	U(L,t)
1	Utt-8Uxx-Ux=0	2sin(x/2)	0	0	t2/4	2	2
2	Utt-5Uxx+U+xsin(t)=0	3x-x2	0	t2/9	0	3	3
3	Utt-3Uxx+Ut=0	2sin(x/4)	0	0	t2/4	2	4
4	Utt-2Uxx+x2 cos(t)=0	0	2x-x2	0	-t2/4	2	2
5	Utt-6Uxx-x2sin(t)=0	2x-x2	0	0	-t2/9	3	2
6	Utt-4Uxx+Ut+U=0	3cos(x/3)-3	0	0	2cos(t)	2	3
7	Utt-Uxx-2xcos(t)=0	3sin(x/3)	0	sin(t)	0	2	3
8	Utt-2Uxx+U+cos(t)=0	0	4x-x2	2sin(2t)	0	1	4
9	Utt-5Uxx-x2e-t=0	0	3sin(x)	0	1-e-t	4	2
10	Utt-3Uxx+Ut+U=0	4x-x2	0	2sin(t/2)	0	2	4
11	Utt-4Uxx+U-cos(x)=0	2sin(x)	0	0	t2/9	3	1
12	Utt-5Uxx+Ux=0	0	2sin(x/4)	t2/4	0	2	4
13	Utt-4Uxx+Ut=0	0	2sin(x/3)	sin(t/3)	0	3	3
14	Utt-3Uxx+ 2x2e-t=0	2x-x2	0	0	2sin(t/4)	4	4
15	Utt-7Uxx-+U-sin(t)=0	4sin(x/4)	0	t2/4	0	2	4
16	Utt-5Uxx+ Ut=0	4x-x2	0	sin(t)	0	2	4
17	Utt-4Uxx-4xcos(t)=0	0	2sin(x/4)	t2/9	0	3	4
18	Utt-9Uxx-2x2cos(t)=0	2x-x2	0	t2	0	2	2
19	Utt-4Uxx-x=0	2sin(x/4)	0	2sin(t/2)	0	2	4
20	Utt-4Uxx+U=0	4x-x2	0	0	t3/4	2	4
21	Utt-5Uxx+x2e-t=0	2x-x2	0	sin(t/5)	0	5	2
22	Utt-4Uxx+U+ xe-t=0	2sin(x/4)	0	t2/4	0	4	4
23	Utt-4Uxx+ xe-t=0	3sin(x/4)	0	0	t2/9	3	4
24	Utt-5Uxx+ Ut=0	x2-4x	0	sin(t/3)	0	6	4
25	Utt-6Uxx-x2sin(t)=0	2sin(x/4)	0	t2/4	0	4	4
26	Utt-5Uxx+Ut=0	cos(x/3)-1	0	0	2cos(t)	2	3
27	Utt-Uxx-3cos(t)=0	4sin(x/3)	0	sin(t)	0	1	3
28	Utt-4Uxx+U+cos(t)=0	0	4x-x2	3sin(t)	0	1	3
29	Utt-7Uxx-e-t=0	0	3sin(x)	0	1-e-t	4	2
30	Utt-4Uxx+2Ut=0	4x-x2	0	2sin(t/2)	0	2	4

Методические указания для выполнения расчетно-графического задания №2

Расчетно-графическое задание посвящено применению интегрального преобразования Фурье к решению УЧП гиперболического типа. Для решения задачи необходимо изучить разделы 6.1,6.2 учебного пособия[1].

Порядок выполнения задания следующий.