1.Постановка задачи.

Уравнение стационарной теплопроводности имеет вид

. (1)

Граничные условия

(2)

(3)

2.Переход в пространство изображений.

(4)

Получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

. (5)

Граничные условия в пространстве изображений

(6)

(7)

Решаем характеристическое уравнение

;

Тогда решение уравнения (5) имеет вид

(8)

(9)

Определяем постоянные С₁ и С₂ из граничных условий

Получаем решение в простанстве изображений

(10)

3. Переход в пространство оригиналов

Тогда решение УЧП имеет вид

(11)

4.Доказательство сходимости интеграла

Вначале докажем, что интеграл (11) сходится на бесконечности

Докажем, что особенность в подынтегральной функции – устранимая.

Находим производные

5.Вычисление интегралов и построение графиков

Так как неосциллирующая часть подынтегральных функций имеет в одной точке неограниченную вторую производную, то для интегрирования применим метод Симпсона. Экспериментально установлено, что решение сходится к граничным условиям с удовлетворительной точностью при h=0.2,M=300. Результаты решения представлены на рис.16-18.

Рис. 16 График функции U(x,y) для y[0,1].

Рис. 17. График производной U_y(x,y) для y[0,1].

Рис. 18. График производной U_x(x,y) для y[0,1].

Варианты расчётно-графического задания №2.

1. Получить решение уравнения в частных производных методом интегрального преобразования Фурье в области: -< x <+, 0yН. Граничные условия имеют указанные ненулевые значения только на промежутке [a,b].

2. Выполнить численное обращение изображений методом Файлона.

3. Построить графики функций: U(x,yi), U_x(x,yi), U_y(x,yi), где yi=i*Н/10, i=0,1,2…10.

СП-1

№ вар.	Уравнение	Граничные условия				[a,b]	H
		U(x,0)	Uy(x,0)	U(x,H)	Uy(x,H)
1	U=0	2+x2	-	2+x2	-	[0,3]	1
2	U-4U=0	-	e-x	0	-	[0,]	3
3	U-9U=0	cos(x/3)-1	-	-	0	[0,6]	4
4	U-5U=0	-	x2-1	0	-	[0,2]	3
5	U-U=0	2e-|x|	-	0	-	[-,]	2
6	U-U=0	-	3x+2	0	-	[-2,2]	4
7	U-9U=0	-	4(x-1)	0	-	[0,2]	2
8	U+2Uy=0	-	2+x	0	-	[1,3]	1
9	U+Uyy+U=0	-	4	0	-	[-1,2]	3
10	U+4Uxx-U=0	-	2-x	0	-	[0,2]	1
11	U-4U=0	x2 -1	-	-	0	[-1,1]	2
12	U+4Uxx=0	-	2-x	0	-	[1,2]	4
13	U-4U=0	x(3-x)	-	-	0	[0,3]	2
14	U-2Uy=0	-	x+1	0	-	[0,1]	1
15	U-2U=0	4-x2	-	-	0	[-2,2]	2
16	U-U=0	2sin(x/2)	-	-	0	[0,2]	2
17	U-2U=0	x2-x	-	-	0	[0,1]	3
18	U-3U=0	1-x2	-	-	0	[-1,1]	4
19	U-2U=0	2sin(x/3)	-	-	0	[-3,3]	5
20	U-2Uy=0	-	x2-1	0	-	[1,2]	4
21	U-0.5U=0	3x-x2	-	0	-	[0,3]	2
22	U-U=0	-	2+x	0	-	[0,1]	4
23	U-4U=0	-	1-x2	0	-	[0,3]	3
24	U-U=0	x2-3x	-	-	0	[0,3]	2
25	U-4U=0	-	x2	0	-	[0,4]	4
26	U-3U=0	-	x+2	0	-	[-2,2]	4
27	U-4U=0	-	2(x-1)	0	-	[0,3]	2
28	U-3Uy=0	-	2+x	0	-	[1,3]	1
29	U+Uyy-U=0	-	4	0	-	[-1,2]	3
30	U+Uxx-U=0	-	2-x	0	-	[0,2]	2

СП-2

№ вар.	Уравнение	Граничные условия				[a,b]	H
		U(x,0)	Uy(x,0)	U(x,H)	Uy(x,H)
1	U-3U=0	-	-2+x2	-	0	[0,2]	5
2	U-U=0	-	x	0	-	[0,4]	3
3	U-2U=0	-	cos(x/3)-1	-	0	[0,3]	3
4	U-Uy=0		x2-1	0	-	[0,1]	4
5	U-2U=0	2e-|x|	-	-	0	[-,]	2
6	U-3U=0	-	x2+2	0	-	[-1,2]	3
7	U-3U=0	-	4(x-2)	0	-	[0,3]	3
8	U+2Uy=0	-	(x-2)	0	-	[1,3]	2
9	U+Uy=0	-	4x	0	-	[-1,2]	5
10	U+Uxx-U=0	-	2-x2	0	-	[0,3]	3
11	U-U=0	x3 -1	-	-	0	[-1,1]	3
12	U+4Uxx=0	-	2-x2	0	-	[1,2]	3
13	U-U=0	x(4-x)	-	-	0	[0, 4]	2
14	U-4Uy=0	-	x2+1	0	-	[0,2]	4
15	U-2U=0	4-x3	-	-	0	[-2,2]	3
16	U-3U=0	2sin(x/3)	-	-	0	[0,6]	2
17	U-U=0	x2-3x	-	-	0	[0,3]	4
18	U-2U=0	4-x2	-	-	0	[-2,2]	4
19	U-4U=0	2sin(x)	-	-	0	[-1,1]	2
20	U-2U=0	-	x-1	0	-	[1,2]	3
21	U-5U=0	4x-x2	-	0	-	[0,4]	4
22	U-2U=0	-	2+x2	0	-	[0,2]	3
23	U-2U=0	-	1-2x	0	-	[0,2]	2
24	U-2U=0	x2-x	-	0	-	[0,1]	2
25	U-U=0	-	x2-2	0	-	[0,3]	4
26	U-4U=0	-	x2+4	0	-	[-2,2]	3
27	U-2U=0	-	2(x-2)	0	-	[0,4]	3
28	U+3Uy=0	-	(x-1)	0	-	[1,3]	2
29	U+Uy=0	-	4x	0	-	[-1,2]	5
30	U-U=0	-	3-x2	0	-	[0,4]	4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пожуев В.И. Методы математической физики. – Запорожье. 1999

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М., Наука, 1972

3. Крылов В.И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. – М., Наука, 1974