- •§2. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности
- •§ 3. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности
- •§ 4. Функции, эквивалентные в нуле
- •§ 5. Основные теоремы о пределах функций
- •§ 6. Виды неопределенности и способы их раскрытия
- •§ 7. Шкала роста бесконечно больших при элементарных функций
- •§ 8. Примеры вычисления пределов
- •Типовые задания для самостоятельной работы
§ 3. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности
Определение: Число называется пределом функции в точке , если для любой числовой последовательности, сходящейся к числу , , соответствующая числовая последовательность , сходится к числу . Применяемые обозначения:
или при .
Особо подчеркнем здесь выделенное слово «любой», означающее, что значение предела функции, не должно зависеть от вида выбранной последовательности , и должно оставаться одним и тем же для разных числовых последовательностей .
Другими словами, если для разных последовательностей , соответствующие последовательности стремятся к разным пределам, то предела функции в точке не существует.
Определение: Число называется пределом слева (справа) функции в точке , если для любой, сходящейся слева (справа) к числу числовой последовательности < ( > ) соответствующая числовая последовательность , сходится к числу . Для предела функции слева используются обозначения:
или .
Аналогично, для предела функции справа:
или .
Теорема: Предел функции в точке существует и равен тогда и только тогда, когда пределы функции слева и справа в этой точке существуют и оба равны .
Продемонстрируем различные ситуации с существованием и не существованием предела функции , изображенной на Рис.2 .
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
Рис. 2
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Определение: Число называется пределом функции на (на ), если для любой бесконечно большой числовой последовательности
соответствующая последовательность сходится к числу , т. е. ,
Применяемые обозначения:
или .
Изобразим на Рис.3 указанные пределы:
2
-3
Рис. 3
,
.
Введенные здесь добавки +0 и –0 , используемые для уточнения расположения графика функции относительно ее горизонтальных асимптот и , означают, что асимптотическое поведение функции
при таково, что функция располагается ниже горизонтальной асимптоты . А асимптотическое поведение той же функции при
таково, что график функции располагается выше горизонтальной асимптоты .