Пример 14. Найти сумму степенного ряда .
Решение:
Обозначая сумму ряда
,
имеем равенство
.
Умножим равенство на :
.
Дифференцируем по полученный ряд:
.
Здесь
мы воспользовались формулой для суммы
геометрической прогрессии со знаменателем
: 
Для
того, чтобы найти сумму
,
необходимо рассматривать полученное
выражение как дифференциальное уравнение
относительно неизвестной функции
,
удовлетворяющее условию Коши: 
(Условие
следует из вида самого ряда и из того
факта, что точка
принадлежит области сходимости ряда).
Решаем
это дифференциальное уравнение:
.
Откуда
.
Разделив полученное выражение на , окончательно получаем искомую сумму ряда:
.
Задача 15. Найти сумму степенного ряда
15.1
15.6
15.2
15.7
15.3
15.8
15.4
15.9
15.5
15.10
Пример
15. Найти сумму степенного ряда
.
Пытаемся
ликвидировать множитель
в
ом
члене ряда для того, чтобы превратить
ряд в геометрическую прогрессию. Для
этого домножаем ряд на 2, и затем после
преобразования проинтегрируем ряд от
нуля до
в области сходимости ряда: Обозначим
сумму ряда, как
,
тогда
.
Теперь проводим почленное интегрирование по :
.
Для того чтобы найти сумму ряда , необходимо снять интеграл в левой части равенства, для чего равенство нужно продифференцировать по :
.
Таким образом, окончательно получаем сумму ряда
.
Задача 16. Найти сумму степенного ряда
16.1
16.6
16.2
16.7
16.3
16.8
16.4
16.9
16.5
16.10
Пример
16. Найти сумму степенного ряда
.
Решение: Преобразуем ряд
.
Здесь было использовано разложение в ряд Тейлора показательной функции
.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ко второму изданию……..................... ... 1 стр.
Непосредственное интегрирование:
Задача 1. ...................................................................... 2
Пример 1. .................................................................... 2
Задача 2. ........................................................................2
Пример 2. ......................................................................3
Задача 3. .......................................................................3
Пример 3. .................................................................... 4
Задача 4. ..................................................................... .4
Пример 4. ................................................................... 5
Задача 5. ..................................................................... 5
Пример 5. .................................................................... 6
Интегрирование квадратного трехчлена
Задача 6. ..................................................................... .6
Пример 6. .................................................................... 7
Интегрирование дробно-рациональных функций
Задача 7. ................................................................. ... 8
Пример 7. .................................................................... 9
Интегрирование по частям
Задача 8. ......................................................................12
Пример 8. ....................................................................13
Интегрирование тригонометрических функций
Задача 9. .......................................................................14
Пример 9. .....................................................................14
Замена переменной в неопределенном интеграле
Задача 10. .....................................................................15
Пример 10. ...................................................................16
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Задача 11. .....................................................................17
Пример 11. ...................................................................17
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения Бернулли
Задача 12. .....................................................................18
Пример 12. ...................................................................18
Знакочередующиеся ряды. Приближенное вычисление суммы ряда
Задача 13. ......................................................................19
Пример 13. ....................................................................19
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Задача 14. ......................................................................20
Пример. 14. ................................................................. .20
Задача 15. ......................................................................21
Пример 15. ....................................................................21
Задача 16. ...........................................................................22
Пример 16. .........................................................................22
СОДЕРЖАНИЕ .................................................................... 23