2.4. Оценка адекватности модели

Необходимое условие для перехода от исследования объекта к исследованию модели и дальнейшего перенесения результатов на объект исследования - требование адекватности модели и объекта. Адекватность предполагает воспроизведение моделью с необходимой точностью основных свойств объекта, существенных для целей данного исследования. Так как всякая модель имеет характер проекции, никогда нельзя говорить об абсолютной адекватности, при которой модель соответствует объекту по всем свойствам.

Количественная оценка степени идентичности модели и объекта может быть осуществлена путем сравнения их выходных сигналов при подаче одинаковых входных воздействий на объект и его модель (рис.2.1).

Объект

Y

Y

X Y

Вычисление

абсолютной

ошибки

Вычисление

приведенной

ошибки

Вычисле-ние СКО

Y

+

M

Модель

Y

Рис. 2.1. Схема оценки адекватности модели

П

M

M

M

M

усть проведено L опытов при различных уровнях входных воздействий Xj = (X1j, X2j,... Xnj) из области Dx их допустимых значений получены реализации выходов объекта Yj = (Y1j, Y2j,...Ymj) и выходы модели Yj = (Y1j, Y2j,...Ymj) (j = 1, L).

О шибки модели y = (y1, y2,... ym), y = (y1, y2,... ym) и

 y = (y1, y2,... ym) для оценки ее адекватности вычисляются по формулам:

(i = 1, m) (23)

(i = 1, m) (24)

(i = 1, m) (25)

г

M

M

Н

де yi, yi , yi - абсолютная, приведенная и средне-квадратическая ошибки модели по i -му выходу (i = 1, m) ; Yij , Yij - значение i - го выхода объекта и модели в j -ом опыте (i = 1, m; j = 1,L); Yi - номинальное значение i-го выхода объекта (i = 1, m) при номинальных значениях входов Xk (k = 1, n).

Если величины этих ошибок меньше некоторого заданного положительного числа, то модель адекватна объекту и может быть использована для решения задач моделирования, оптимизации и управления . В противном случае модель необходимо усовершенствовать путем изменения структуры и введения в нее неучтенных ранее факторов.

2.5. Численные методы исследования линейных объектов

Идентификация линейных объектов приводит к решению систем линейных уравнений. С этой задачей исследователь часто сталкивается в практике. Это обусловлено, по крайней мере, двумя причинами.

Во-первых, многие задачи линейной оптимизации, идентификации линейных и нелинейных моделей статики, идентификации линейных моделей динамики (дифференциальные уравнений) объекта сводиться к решению систем линейных уравнений.

Во-вторых, большинство нелинейных задач ‘в малом’ линейны, т.е. нелинейные модели в малой окрестности некоторого решения могут быть описаны линейными. Следовательно, первым шагом решения нелинейных задач является исследование линеаризованных моделей, что также связано с решением систем линейных уравнений.

Таким образом, численные методы решения систем линейных уравнений оказываются важным инструментом решения обширного круга научно-технических задач на ЭВМ.

В общем случае система линейных уравнений имеет вид





..................................... (26)



или в компактном виде

(i = 1, n) (27)

С



истема (26) в матричной форме записывается следующим образом:

Сz = C (28)

г



де C = (Cij) - матрица вещественных коэффициентов (1<=i, j<=n), det L0.

- вектор свободных членов; Z = (Z1,...,Zn) - вектор неизвестных.

Численные методы решения системы (28) и их программная реализация подробно изучены студентами в курсе ‘Программирование и вычислительные методы’.

Приведем только некоторые практические рекомендации по применению алгоритма численного решения системы (28) методом Гаусса-Жордана.

Этот метод является разновидностью метода Гауса. Как известно, в методе Гаусса преобразования затрагивают только управления, стоящие ниже ведущего ряда. В результате исходная система уравнений приводится к треугольному виду. В методе же Гаусса-Жордана преобразуются уравнения, стоящие и под ведущим рядом, и над ним. Таким образом, этот метод дает алгоритм приведения системы линейных уравнений к диагональному виду. Он имеет простую реализацию (рис. 2.2), что не требует особых затрат времени для ввода в ЭВМ в случае отсутствия готовой программы в библиотеке.

П

Заголовок программы

рименение метода Гаусса-Жордана (так же как и метода Гаусса) усложняется, если какой-либо из коэффициентов ведущего ряда равен нулю. В этом случае ведущий ряд невозможно нормировать. Кроме того, известно, что наибольшая точность достигается тогда когда ведущий элемент имеет наибольшее значение по модулю. Поэтому эти методы исключения применяют в сочетании с какой-нибудь схемой выбора ведущего элемента (модифицированный метод Гаусса). Однако эту трудность можно обойти изменив порядок, в котором расположены уравнения системы. Для этого строку с нулевым или малым по модулю коэффициентом ведущего ряда надо заменить на ту из стоящих под ней строк, в которой в том же столбце стоит коэффициент, имеющий наибольшее значение по модулю.

Ввод:

N - число уравнений системы (число неизвестных)

C[I,J] - коэффициенты уравнений (I=1, N; J= 1, N+1)

Жордановые преобразования:

FOR I:=1 TO N DO

FOR J:=1 TO N DO

IF J<>I THEN BEGIN

M:=C[J,I]/C[I,I];

FOR K:=1 TO N+1 DO

C[J,K]:=C[J,K]-M*C[I,K]

END;

Вывод результата:

I=1, N ; Z[I]=C[I,N+1]/C[I,I]

Рис. 2.2. Структура программы на языке Паскаль решения системы методом Гаусса-Жордана.