Продолжение табл.2
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
f14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
x1| x2 |
Ф-ция Шеффера, штрих Шеффера, И-НЕ, отрицание конъюнкции, несовместимость высказываний |
f15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Константа 1, абс. истинная ф-ция |
7.2. Тождества булевой алгебры
В булевой алгебре справедливы следующие тождества:
a + 0 = a a 1 = a
a + 1 = 1 a 0 = 0
a + b = b + a ab = ba коммутативный
(переместительный) закон
(a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) ассоциативный
(сочетательный) закон
a(b + c) = ab + ac a + bc = (a + b)(a + c) дистрибутивный
(распределительный) закон
a + a = a aa = a идемпотентность
a + ab = a (a + b)a = a поглощение
склеивание
Правила де Моргана:
, для
нескольких переменных 
, для
нескольких переменных 
Порядок выполнения действий в булевой алгебре: при отсутствии в выражении скобок первыми должны выполняться операции отрицания, затем конъюнкции и последними - дизъюнкции.
7.3. Правила преобразования некоторых логических функций
a + b = a b ab
a = a 1
a b = ab +ab
a 0 = a
a a = 0
ab = 
ab = 
a b =a + b
a b = ab +ab
Пример 1. Упростить выражение
= (x2 +x3) + (x1x2 + x2 x3) + x1 =
= (x2 + x1x2) + (x3 + x2 x3) + x1 = x2(1 + x1) +x3(1 + x2) + x1 =
= x2 1 +x3 1 + x1 = = x2 +x3 + x1
Пример 2. Доказать справедливость соотношения
((a (c b)) (b (a d)) (d (b c)) (a c)) a = 1
((a (c b)) (b (a d)) (d (b c)) (a c)) a =
= ((a + (c b)) (b + ad) (d + (b c)) (a c + ac)) a =
= ((a + (c b)) (d + (b c)) (b + ad) (a c + ac)) a =
= ((a d + (c b)) (ab c +abc + a cd)) a =
= ((a d + b c +bc) (ab c +abc + a cd)) a =
= (ab c d + ab c + ab cd) a = ab c (d + 1 + d) a =
= (ab c 1) a = ab c a = 
=
=a +b + c + a = 1 +b + c = 1
Контрольные вопросы
1. Сколько наборов можно образовать из
а) 3-х входных переменных;
2. Определить количество различных логических функций
а) 3-х аргументов;
3. Пусть p и q обозначают следующие высказывания:
p: Я совершу путешествие на Марс.
q: У меня есть деньги.
Запишите в символической форме такое высказывание: «У меня нет денег и я не совершу путешествие на Марс.»
4. Пусть p, q и r обозначают следующие высказывания:
p: Эта игра очень трудна.
q: Я играю в шахматы.
r: Игра в шахматы требует времени.
Интерпретируйте следующее выражение как обычное высказывание: (p r) q.
5. Определить значения функции f(x1, x2, x3) = x3 + (x1 (x1 x2)) на наборе данных (0, 1, 1).
8. Минимизация логических функций
8.1. Минимизация с помощью карт Карно
Каждому из
наборов значений аргументов соответствует
одна ячейка на карте Карно. В соседних
клетках наборы отличаются значением
только одного аргумента. Если на данном
наборе аргументов функция равна единице,
то в соответствующей данному набору
ячейке карты записывается единица.
Клетки, соответствующие наборам, на
которых функция равна нулю, либо заполняют
нулями, либо оставляют пустыми.
Составим карты Карно для функций двух, трех и четырех аргументов.
Пусть задана логическая функция двух аргументов:
Пусть
функция трех аргументов
задана таблицей:
-
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
f
1
1
1
0
0
1
0
1
Рассмотрим функцию четырех аргументов:
Операция склеивания может быть применима только к соседним конституентам, которые на карте Карно располагаются в соседних клетках.
Исключение составляют клетки, расположенные у границ карты. Для устранения этого исключения условно отождествляют противоположные границы карты – верхнюю с нижней и левую с правой.
Склеивающиеся
клетки обводят таким образом, чтобы
количество единиц в каждом контуре было
максимально, а количество контуров -
минимально. Количество единиц в контуре
может быть равно
.
Полученные контуры следует описать
конъюнкциями.
Карту Карно можно как бы складывать по центральным горизонтальной или вертикальной осям (или по обеим сразу).