7. Теория упругости

Решить задачу об определении напряженно-деформированного состояния упругого тела.

7.1. Определить перемещения, деформации и напряжения, возникающие в полом круговом цилиндре бесконечной длины, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью . Внутренний и внешний радиусы цилиндра равны соответственно R₁ и R₂.

Указание: принять, что перемещения точек цилиндра направлены вдоль его радиуса; вектор перемещений имеет вид u = u(ρ)= u(ρ)e_ρ. Массовая сила (сила инерции) записывается в виде K = ² ρ e_ρ.

7.2.Полый круговой цилиндр со свободными торцами и с закрепленной наружной боковой поверхностью скручивается касательными усилиями τ, равномерно распределенными по внутренней поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁ и R₂. Определить напряженно-деформированное состояние цилиндра, а также скручивающее касательное напряжение на закрепленной поверхности.

Указание: принять, что перемещения точек цилиндра направлены вдоль боковой поверхности; вектор перемещений имеет вид u = u(ρ)= v(ρ)e_φ.

7.3. В неограниченной упругой среде имеется сферическая полость, заполненная газом под давлением p. Радиус полости равен R. Определить деформацию и напряжения в упругой среде. Перемещения точек среды на бесконечности принять равным нулю.

Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].

7.4.Полый круговой цилиндр бесконечной длины нагружен вдоль внутренней и наружной поверхностей касательными напряжениями постоянной интенсивности так, что

τ_ρz|_ρ=a = τ₀; τ_ρz|_ρ=b = a/b τ₀.

Здесь a,b - внутренний и внешний радиусы цилиндра соответственно. Найти распределение перемещений и касательных напряжений в цилиндре.

Указание: принять, что перемещения точек цилиндра имеют две составляющих: u_ρ=u(ρ) и u_z=w(ρ); вектор перемещений имеет вид u = u(ρ)= u(ρ)e_ρ+ w(ρ)e_z. Воспользоваться решением задач 3.7, 3.8, раздел 5 [1].

7.5.Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной внутренней боковой поверхностью нагружен осевыми касательными усилиями τ, равномерно распределенными по наружной поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁ и R₂. Найти напряженно-деформированное состояние, а также распределение касательных напряжений на закрепленной поверхности и перемещения свободной поверхности.

Указание: принять, что перемещения точек цилиндра имеют две составляющих: u_ρ и u_z; вектор перемещений имеет вид u = u(ρ)= u(ρ)e_ρ+ w(ρ)e_z. Воспользоваться решением задачи 3.7, раздел 5 [1].

7.6. Определить напряженно-деформированное состояние сплошного упругого шара радиуса а под влиянием собственного гравитационного поля (k = -gR/a), считая, что поверхность шара свободна от напряжений. Найти области сжатия и растяжения радиальных волокон.

Указание: воспользоваться решением задачи 3.3, раздел 5 [1].

7.7.Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной внутренней поверхностью находится в поле сил тяжести. Ось цилиндра вертикальна. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁ и R₂. Определить напряженно-деформированное состояние цилиндра. Найти осевое смещение точек наружной поверхности, а также касательное напряжение на закрепленной поверхности.

Указание: воспользоваться решением задачи 3.11, раздел 5 [1].

7.8. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полого цилиндра бесконечной длины, находящегося под действием равномерного внутреннего давления p₁ (внешнее давление p₂=0). Внутренний и внешний радиусы цилиндра равны соответственно R₁ и R₂. Влиянием массовых сил пренебречь.

Указание: воспользоваться решением задачи 3.1, раздел 5 [1].

7.9. Определить напряженно-деформированное состояние упругого шара радиуса a, если заданы перемещения точек его поверхности u(a)=u^*e_R. Влиянием массовых сил пренебречь.

Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].

7.10. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полого шара, если известны равномерное давление p на внутренней поверхности и радиальное смещение u^* точек внешней поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁ и R₂. Влиянием массовых сил пренебречь.

Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].

7.11.Полый круговой цилиндр со свободными торцами и с закрепленной внутренней боковой поверхностью скручивается касательными усилиями τ, равномерно распределенными по наружной поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁ и R₂. Определить напряженно-деформированное состояние, а также распределение касательных напряжений на закрепленной поверхности и перемещения свободной поверхности.

Указание: принять, что перемещения точек цилиндра направлены вдоль боковой поверхности; вектор перемещений имеет вид u = u(ρ)= v(ρ)e_φ.

7.12. В неограниченной упругой среде имеется сферическая полость. Радиус полости равен a. Задано радиальное смещение u^* точек поверхности полости. Определить деформацию и напряжения в упругой среде. Перемещения точек среды на бесконечности принять равным нулю.

Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].

7.13. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полого шара, если известны равномерное давление p на внешней поверхности и радиальное смещение u^* точек внутренней поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁ и R₂. Влиянием массовых сил пренебречь.

Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].

7.14. В неограниченной упругой среде имеется цилиндрический канал бесконечной длины, на поверхности которого поддерживается постоянное давление p. Радиус канала равен R. Определить напряженно-деформированное состояние упругой среды, считая, что σ_ρ=0|_ρ→∞.

Указание: воспользоваться решением задачи 3.1, раздел 5 [1].

7.15. Определить напряженно-деформированное состояние упругого шара радиуса a, находящегося под действием равномерного внешнего давления p. Влиянием массовых сил пренебречь.

Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].

7.16. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полого цилиндра бесконечной длины, находящегося под действием равномерного внешнего давления p₂ (внутреннее давление p₁=0). Внутренний и внешний радиусы цилиндра равны соответственно R₁ и R₂. Влиянием массовых сил пренебречь.

Указание: воспользоваться решением задачи 3.1, раздел 5 [1].

7.17. Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной наружной поверхностью находится в поле сил тяжести. Ось цилиндра вертикальна. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁ и R₂. Определить деформацию цилиндра. Найти напряженно-деформированное состояние, а также распределение касательных напряжений на закрепленной поверхности и перемещения свободной поверхности.

Указание: воспользоваться решением задачи 3.11, раздел 5 [1].

7.18. Определить напряжения, возникающие в сплошном круговом цилиндре бесконечной длины, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью . Радиус цилиндра равен R.

Указание: принять, что перемещения точек цилиндра направлены вдоль его радиуса; вектор перемещений имеет вид u = u(ρ)= u(ρ)e_ρ. Массовая сила (сила инерции) записывается в виде K = ² ρ e_ρ.

7.19.Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной наружной боковой поверхностью нагружен осевыми касательными усилиями τ, равномерно распределенными по внутренней поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁ и R₂. Определить напряженно-деформированное состояние цилиндра, а также распределение касательных напряжений на наружной поверхности и перемещения внутренней поверхности.

Указание: принять, что перемещения точек цилиндра имеют две составляющих: u_ρ и u_z; вектор перемещений имеет вид u = u(ρ)= u(ρ)e_ρ+ w(ρ)e_z. Воспользоваться решением задачи 3.7, раздел 5 [1].