Решение

Перепишем уравнение дохода за неделю в следующем виде:

Р = ax + 40 у (ф. ст. в неделю),

где а — единичный доход от выпуска деталей типа X. Преобразовав это уравнение, получим:

у = Р/40 - (а/40)х.

Тангенс угла наклона линии дохода за неделю равен - (а/40). В исходном положении при а = 30 ф. ст. за единицу тангенс угла наклона равен - (30/40) = (3/4).

Если а меньше 30 ф. ст. за единицу, то наклон линии еженедельного дохода становится более пологим. В точке А линия уровня будет отклоняться в сторону лимитирующего ограничения на фонд рабочего времени. Это ведет к уменьшению оптимального значения функции Р, дохода за неделю. Обратите внимание на рис 1.18. Если сильно уменьшать значение параметра а, то линия уровня еженедельного дохода совпадет с ограничением на фонд рабочего времени; Это показано на рис. 1.19.

Если и далее уменьшать значение параметра а, оптимум переместится из точки А в точку D (см. рис. 1.20). Следовательно, граничным является положение линии уровня дохода, при котором она совпадает с линией лимитирующего ограничения на фонд рабочего времени. Этому положению соответствует наименьшее значение а, для которого А является оптимальной крайней точкой.

Угол наклона линии ограничения на фонд рабочего времени можно найти, преобразовав данное ограничение к виду:

у = 4000/2-1/2 х

Тангенс угла наклона лимитирующего ограничения равен - (1/2). Нижний предел значений находится из условия - (а/40) = - (1/2), таким образом, а = 20 ф. ст. за единицу. Следовательно, единичный доход от выпуска деталей типа Х может уменьшаться до 20 ф. ст. до того, как оптимум переместится из точки А в точку D .

Причем оптимальный доход будет сокращаться, но оптимальный ассортиментный набор не изменится до тех пор, пока значение параметра а не опустится ниже 20 ф. ст. Аналогичным образом можно найти верхний предел значений а. С увеличением значения а линия еженедельного дохода становится все менее пологой и в конечном итоге окажется параллельной линии другого лимитирующего ограничения, а именно на листовой металл. Любое дальнейшее увеличение значения а вызовет изменение оптимальной крайней точки и перемещение ее в точку Е. Это показано на рис. 1.21 и 1.22.

Граничное положение линии уровня еженедельного дохода достигается в момент ее совпадения с ограничением на листовой металл. Этому положению соответствует верхний предел значений параметра а, для которых точка А является оптимальной крайней точкой допустимого множества. Угол наклона ограничения на листовой металл можно найти, преобразовав это уравнение к виду:

у = 10000/2 - (5/2)х.

Тангенс угла наклона лимитирующего ограничения равен - (5/2), а верхний предел параметра а находятся из условия - (а/40) = - (5/2), следовательно, а = 100 ф. ст. за единицу. Таким образом, до того как оптимальный ассортиментный набор переместится из точки А в точку Е, единичный доход от выпуска деталей типа Х может возрастать до 100 ф. ст.

Два соответствующих предела значения единичного дохода от выпуска деталей типа Y можно найти аналогичным образом, если в изложенной схеме расчетов заменить х на у. Предположим, что значение коэффициента целевой функции при х является неизменным, тогда:

Р = 30 х + b у (ф. ст. в неделю)

и

х = Р/30 - (b/30)у.

По мере увеличения или уменьшения параметра b граничные положения линии уровня еженедельного дохода определяются теми же двумя ограничениями, что и в предыдущем случае. Теперь необходимо записать уравнения этих ограничений так, чтобы х выступал в качестве зависимой переменной:

Фонд рабочего времени: х = 4000 - 2у.

Тангенс угла наклона равен -2, следовательно, предельное значение достигается при условии - (b/30) = -2, т.е. b = 60 ф. ст. за единицу.

Листовой металл: х = 10000/5 - (2/5)у.

Тангенс угла наклона равен -(2/5), для предельного значения выполняется условие: -(b/30) = -(2/5), следовательно, b = 12 ф. ст. за единицу.

Крайняя точка А соответствует оптимальному ассортиментному набору только до тех пор, пока доход от выпуска деталей типа Y изменяется в пределах от 12 до 60 ф. ст. за единицу. В случае если показатели единичных доходов от выпуска деталей типа Х или Y будут изменяться по сравнению с их исходными значениями, значение оптимального дохода также будет отличным от 95000 ф. ст.