3.5. Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида АХ = В (14) и ХА = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А либо вырожденная, либо прямоугольная.
1) Если А – квадратная и А 0, то уравнения (14) и (15) имеют единственное решение каждое: Х = А-1В и Х = ВА-1 соответственно, если эти произведения определены. И не имеют решения, если они не определены.
2) А – квадратная матрица, но А = 0, либо А прямоугольная матрица. Если матрица А имеет размерность mn, а матрица В – размерность рк, то, при m р уравнение (14) не имеет решения, а при n к не имеет решения уравнение (15). Если же m = р , то в уравнении (14) матрица Х должна иметь к столбцов, а в уравнении (15) она должна иметь р строк. Решение этих матричных уравнений сводится к решению систем линейных уравнений.
Пример 5. Найдите матрицу Х, если
АХ = В, где
А =
,
В =
.
Из примера 5 следует, что матрица А
имеет обратную, поэтому Х = А-1В.
Используя найденную в примере 5 матрицу
А-1, получим Х =
= =
.
Пример 6. Найдите матрицу Х, если
ХА = В,
где А =
,
В =
.
Так как А
= 0, то для А обратной матрицы нет.
По правилам умножения матриц, в матрице
В столько строк, сколько их в матрице
Х, и столько столбцов, сколько их в
матрице А. Последнее условие
выполняется, следовательно, уравнение
имеет решение. На матрицу Х
накладывается ограничения: в матрице
Х должно быть два столбца и три
строки. Чтобы найти элементы такой
матрицы, обозначим их и перейдём к
системе линейных уравнений. Пусть Х
=
.
Тогда ХА
=
.
Полученная матрица равна матрице В
тогда и только тогда, когда их
соответствующие элементы равны. Получим
три системы уравнений.
Эти системы не имеют решений,
следовательно, не имеет решения и данное
матричное уравнение.
IV. Линейные пространства
4.1. Алгебраические операции
Пусть дано некоторое множество М. Будем говорить, что на множестве М задана внутренняя алгебраическая операция, если задан закон (правило), по которому каждой упорядоченной паре элементов а и в из М ставится в соответствие вполне определённый элемент с. Если при этом для любой пары элементов а, в из М соответствующий элемент с всегда тоже принадлежит М, то М замкнуто относительно данной операции.
Пусть даны два множества М и К. Будем говорить, что на множестве М задана внешняя алгебраическая операция, если задан закон, по которому для каждой пары элементов а М, в К ставится в соответствие вполне определённый элемент с М.
Сложение и умножение действительных чисел – примеры внутренних алгебраических операций на множестве действительных чисел. Умножение вектора на действительное число – пример внешней алгебраической операции на множестве векторов трёхмерного евклидова пространства.
Пусть на множестве элементов Р определены две внутренние алгебраические операции: сложение и умножение: при сложении каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с Р (с = а + в); при умножении тоже каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с Р (с = ав).
Определение 12. Множество элементов Р называется полем, если на нём заданы две алгебраические операции: сложение и умножение, удовлетворяющие следующим требованиям (аксиомам):
Р замкнуто относительно обеих операций;
а + в = в + а для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон для сложения);
(а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);
0 Р такой, что а + 0 = а для любого а Р;
для любого а Р существует (а) Р такой, что а + (а) = 0;
ав = ва для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон);
(ав)с = а(вс) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);
е Р такой, что еа = а для любого а Р (е называется единицей и обозначается 1);
для любого а Р существует а-1 Р такой, что аа-1 = е (а-1 – обратный элемент для а);
10. (а + в)с = ас + вс для любых элементов а, в и с из Р.
Примерами полей являются множество рациональных чисел ( R ), множество действительных чисел (Q ), множество комплексных чисел (С ).