8.2. Сопряженные линейные преобразования

Пусть  - линейное преобразование евклидова пространства Е_n .

Определение 55. Линейное преобразование : Е_n  Е_n называется сопряжённым к преобразованию , если для любых двух векторов а и в из Е_n выполняется условие

(а, (в)) = ((а), в) (52)

Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразований связаны формулой А = Г^–1(А)^ТГ.

Пусть в Е_n зафиксирован базис е = (е₁, е₂, ... , е_n), Г – матрица Грама, А – матрица преобразования  и А – матрица . Если х, у, у¹ и х – столбцы координат векторов а, в, (в) и (а)) соответственно, то (а, (в)) = х^ТГ у¹, ((а), в) = (х)^ТГ у. Используя равенство (52), получим х^ТГ у¹ = хГ у. Используя связь координат вектора и его образа (формула (36)), получим у¹ = Ау, х = А  х. Подставим в предыдущее равенство:

х^ТГ(Ау) = (Ах)^ТГу , х^Т(ГА)у = х^Т((А)^ТГ)у. Отсюда ГА = (А)^ТГ , или

А = Г^–1(А)^ТГ (53)

Следствие 1. А = Г^–1А^ТГ (54).

Доказательство. Из формулы (53) следует, что (А)^Т = ГАГ^–1, А = (Г^–1)^ТА^ТГ^Т. Так как Г – симметрическая матрица, то Г^Т = Г. Следовательно, А = Г^–1А^ТГ .

Следствие 2. Сопряжённость линейных преобразований взаимна.

Доказательство следует из формул 53 и 54.

Следствие 3. Если базис ортонормированный, то А = А^Т.

Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе Г = Е.

Пример. В базисе е = (е₁, е₂, е₃ , е₄) пространства Е₄ скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Пусть А = – матрица линейного преобразования  в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования.

Решение. Легко проверить, что Г удовлетворяет всем требованиям матрицы Грама. Используем формулу (54). Из неё А = Г^–1А^ТГ. Нужно найти матрицу Г^–1. Проверьте, что Г^–1 = . Итак,

А =   = .

Теорема 55. Если некоторое подпространство L евклидова пространства Е_n инвариантно относительно линейного преобразования , то ортогональное дополнение L^ инвариантно относительно сопряжённого преобразования .

Доказательство. Пусть а L , в  L^. Тогда из условия (а)  L следует, что (в, (а)) = 0. Но (в, (а)) = ((в), а). Следовательно, ((в), а) для любого вектора а L. Следовательно, (в)  L^ для любого вектора в  L^. Но это и означает, что подпространство L^ инвариантно относительно .

8.3. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования

Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием (  - самосопряжённое   = ).

Из формулы (52) следует, что линейное преобразование  евклидова пространства будет самосопряжённым тогда и только тогда, когда (а, (в)) = ((а), в) (55).

Пусть в Е_n зафиксирован базис е = (е₁, е₂, ... , е_n), Г – матрица Грама и А – матрица самосопряжённого преобразования  . В этом случае А = А и формула (53) будет иметь вид: А = Г^–1А^ТГ . Если базис ортонормированный, то А = А^Т, т.е. матрица А – симметрическая. Итак, верна

Теорема 56. Линейное преобразование является самосопряжённым тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся симметрической матрицей.

Теорема 56 объясняет тот факт, что самосопряжённое преобразование называют также симметрическим.

Отметим некоторые свойства симметрических преобразований.

1⁰. Тождественное преобразование является симметрическим.

Действительно, тождественное преобразование в любом базисе задается единичной матрицей. Но единичная матрица – симметрическая.

2⁰. Сумма симметрических преобразований есть преобразование симметрическое.

Это утверждение следует из того, что сумма двух симметрических матриц есть матрица симметрическая.

3⁰. Произведение симметрического преобразования на действительное число есть симметрическое преобразование.

Действительно, если симметрическую матрицу умножить на действительное число, то получится симметрическая матрица.

4⁰. Если симметрическое преобразование  имеет обратное преобразование ^–1, то ^–1 – симметрическое преобразование.

Это свойство тоже следует из свойств симметрических матриц.

5⁰. Если линейные преобразования  и  евклидова пространства симметрические, то их произведение будет симметрическим преобразованием тогда и только тогда, когда они перестановочны, т.е.  = .

Действительно, для симметрических преобразований  и  имеем () =  = .

 будет симметрическим тогда и только тогда (по определению), когда () =  . отсюда следует, что  будет симметрическим тогда и только тогда, когда  = .

6⁰. Пусть  симметрическое преобразование евклидова пространства Е. Если Н – инвариантное подпространство преобразования , то и ортогональное дополнение Н^ является инвариантным подпространством преобразования .

Это свойство следует из соответствующего свойства преобразования .

Теорема 57. Все корни характеристического многочлена симметрического преобразования действительные.

Доказательство. Пусть в пространстве Е_n зафиксирован ортонормированный базис е, пусть  симметрическое преобразование и А – его матрица в базисе е. Матрица А – симметрическая. Пусть ₀ – произвольный корень характеристического многочлена |А – Е |. Однородная система уравнений (А –₀Е )х = 0 имеет ненулевые решения, ибо определитель её равен нулю. Эти решения могут быть и комплексные. Пусть х = (х₁, х₂, …, х_n )^Т – одно из таких решений. Тогда Ах = ₀х. Умножим обе части этого матичного уравнения на строку ^Т , получим ^ТАх =₀ ^Тх (). Вычисляя ^Тх, получим ^Тх = . Отсюда следует, что ^Тх действительное число, не равное нулю. Покажем, что, если матрица А симметрическая, то число ^ТАх тоже действительное. Число ^ТАх можно рассматривать как квадратную матрицу первого порядка. Такая матрица не меняется при транспонировании, т.е. ^ТАх = ( ^ТАх)^Т = х^ТА^Т = х^ТА . Кроме того . В двух последних равенствах правые части одинаковы, следовательно, равны и левые части, т.е. ^ТАх = . Следовательно, число ^ТАх действительное. Из равенства () следует, что ₀ – действительное число.

Следствие 1. Все характеристические корни симметрической матрицы А являются действительными.

Следствие 2. Симметрическое преобразование евклидова пространства имеет собственные векторы.

Теорема 58. Собственные векторы симметрического преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть  – симметрическое преобразование евклидова пространства Е_n, ₁, ₂, = его собственные значения и ₁  ₂ . Пусть а и в – собственные векторы, принадлежащие собственным значениям ₁ и ₂ соответственно. Тогда (а) = ₁а, (в) = ₂в. По определению симметрического преобразования (а, (в)) = ((а), в). Отсюда (а, ₂в) = (₁а, в), ₂(а, в) = ₁(а, в), (₁ – ₂)(а, в) = 0. Так как ₁  ₂ , то (а, в) = 0. Так как собственные векторы не нулевые, то а  в.

Теорема 59. Линейное преобразование : Е_n  Е_n является симметрическим тогда и только тогда, когда в Е_n существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования .

Доказательство.  Пусть е = (е₁, е₂, ..., е_n) – ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования . В этом случае (е_к) = _к для любого к = 1, 2, …, n. Следовательно, в данном базисе преобразование  имеет диагональную, а поэтому и симметрическую матрицу, т.е.  – симметрическое преобразование.

 Пусть линейное преобразование : Е_n  Е_n симметрическое. Доказательство проведём методом математической индукции. При n = 1 каждый вектор отображается на пропорциональный ему вектор, т.е каждый вектор является собственным. Поэтому есть базис из собственных векторов.

Предположим, что утверждение теоремы верно для евклидова пространства размерности (n – 1). Пусть Е_n – евклидово пространство размерности n. По следствию 2 теоремы 54  имеет собственные векторы. Пусть е₁ – собственный вектор, принадлежащий собственному значению ₁. Можно считать, что этот вектор единичный, иначе его можно нормировать. Пусть Е₁ = е₁. Очевидно,  (Е₁) = Е₁. Ортогональное дополнение Е₁^Т тоже будет инвариантным относительно . Так как dim Е₁^Т = n – 1, то в Е₁^Т существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования . Пусть это ( е₂, ..., е_n). Но тогда (е₁, е₂, ..., е_n) – ортонормированный базис из собственных векторов в пространстве Е_n .

Из доказанной теоремы вытекает следующее утверждение.

Теорема 60. Любая симметрическая матрица А приводится к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы.

Доказательство. Пусть А – симметрическая матрица. Её можно рассматривать как матрицу некоторого симметрического преобразования  в ортонормированном базисе е = (е₁, е₂, ..., е_n) пространства Е_n . По теореме 56 в Е_n существует ортонормированный базис е¹ = (е₁¹, е₂¹, ..., е_n¹), состоящий из собственных векторов преобразования . Если А¹ – матрица  в базисе е¹, то А¹ – диагональная. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹. Тогда Т – ортогональная и А¹ = Т^–1АТ.

Пример. Привести к диагональному виду матрицу

А = .

Решение. Характеристический многочлен матрицы А = ( – 1)3( + 3)

имеет корни ₁ = ₂ = ₃ = 1, ₄ = – 3. Все они являются собственными значениями матрицы А. Найдём соответствующие собственные векторы.

При  = 1 получаем систему уравнений

Ранг этой системы равен 1, поэтому фундаментальная системы состоит из 3-х решений, например, а1 = (1, 1, 0, 0), а2 = (1, 0, 1, 0), а3 = ( –1, 0, 0, 1). Полученную систему векторов нужно ортонормировать. Для этого нужно задать матрицу Грама. Так как скалярное произведение любое, то зададим Г = Е. Тогда получим

следующую ортонормированную систему:

е₁¹ = е₂¹ = , е₃¹ = .

При  = –3 получаем систему уравнений

Ранг этой системы равен 3, поэтому фундаментальная системы состоит из 1-го решения, например, а4 = (1, –1, –1, 1). Нормируя его, получим е41 = (1, –1, –1, 1). Система векторов е11, е21, е31, е41 – ортонормированный базис из

собственных векторов. Матрица перехода от исходного базиса к базису е¹ будет

Т = .

Т–1 = .

А = ТА¹Т^–1 =   .

.

Теорема 62. Для любого линейного преобразования : Е_n  Е_n преобразования  и  являются неотрицательными, т.е. эти преобразования симметрические, а все их собственные значения – неотрицательные числа.

Доказательство. () = () = . Следовательно,  – симметрическое преобразование. Пусть  – собственное значение преобразования  и а – соответствующий собственный вектор. Тогда (()(а), а) = (((а),а) = ((а), (а)) = =(а)². С другой стороны, (()(а), а) = (а, а) = а². Следовательно, (а)² = а². Так как а  0, то   0. Для преобразования  рассуждения аналогичны.

Определение 57. Симметрическое линейное преобразование называется положительно определённым, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а))  0.

Теорема 61. Симметрическое преобразование является положительно определённым тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительные.

Доказательство.  Пусть симметрическое преобразование  является положительно определённым. Тогда (а, (а))  0 для любого вектора, в частности для любого собственного вектора. Но если а – собственный вектор, то (а) = а. Следовательно, 0  (а, а) = (а, а). Так как для ненулевого вектора (а, а)  0, то   0.

 Пусть все собственные значения симметрического преобразования  положительные. Выберем в пространстве Е_n базис е = (е₁, е₂, ... , е_n), состоящий из собственных векторов этого преобразования. Если а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n , то (а, (а)) = ( = . Если а  0, то (а, (а))  0, т.е. преобразование  положительно определённое.

Замечание. Симметрическое линейное преобразование называется неотрицательным, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а))  0.

Симметрическое линейное преобразование называется отрицательно определённым, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а))  0любого вектора а получим (а, (а)) = ((а), (а))  0. Следовательно, преобразование  неотрицательное.