9.5. Положительно определённые квадратичные формы

Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой, если для любого вектора а  0 имеет место (а)  0.

Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Доказательство.  Пусть (а) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду

у₁² + у₂² + … + у_к² – у_к+1² – … – у_r² (),

в котором либо r  n, либо r = n, но к  n. Пусть преобразование координат, с помощью которого форма приведена к нормальному виду, задаётся формулами у_і = (). Определитель этих формул отличен от нуля. Если r  n, то возьмём у₁ = у₂ = … = у_n–1 = 0, у_n = 1 и подставим в (). Получим систему n линейных неоднородных уравнений с n неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Очевидно, это решение не нулевое, поэтому определяет ненулевой вектор а. Но тогда (а) = 0, что противоречит определению положительно определённой формы. Аналогично приходим к противоречию и в случае r = n, но к  n. Итак, если форма положительно определённая, то её нормальный вид у₁² + у₂² + … + у_n². Это и значит, что ранг и положительный индекс инерции равны n.

 Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.

Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.

Теорема 69. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.

Теорема 70. Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.

Доказательство. Пусть Е_n – n-мерное евклидово пространство, е = (е₁, е₂, … , е_n) – базис в нём и Г – матрица Грама, задающая скалярное произведение векторов в этом базисе. Если а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n , в = у₁е₁+ у₂е₂ + … + у_nе_n, то (а, в) = х ^ТГу, где х ^Т– строка координат вектора а, у – столбец координат вектора в. Следовательно, а² = (а, а) = х ^ТГх. Если сравнить с формулой (60), то получим, что х ^ТГх есть квадратичная форма с матрицей Г. В пространстве Е_n есть ортонормированный базис. В этом базисе а² = х₁² + х₂² +…+ х_n². Но это значит, что при переходе к ортонормированному базису квадратичная форма х ^ТГх приводится к нормальному виду х₁² + х₂² +…+ х_n². По теореме 68 получаем, что форма х ^ТГх является положительно определённой.

Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?

1. 4х₁² – х₁х₂ + 3х₂² – х₂х₃ + 6х₂х₄.

2. 4х₁х₂ – х₁х₃ + 2х₂² – 4х₂х₃ + 3х₂х₄ + 5х₄².

3. 4х₁² – 5х₁х₂ + 3х₂² – 2х₂х₃ + х₃² + 4х₂х₄ – х₄² .

Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.

1. 4х₁² – х₁х₂ + 3х₂² – х₂х₃ + 6х₂х₄ = (4х₁² – х₁х₂ + ) – + 3х₂² – х₂х₃ + 6х₂х₄ =

= (2х₁– )² + ( х₂² –

= (2х₁– )² + ( – =

= (2х₁– )² + ( – . Отсюда следует, что ранг данной формы равен 3, т.е. меньше числа переменных, поэтому эта форма не является положительно определённой (теорема 68).

2. Составим матрицу второй квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М₁ = 0. Уже отсюда следует, что форма не является положительно определённой (теорема 69).

3. Составим матрицу третьей квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М₁ = 4  0, М₂ = = 5,75  0, М₃ = 1,25  0,

М₄ = А= 14,25  0. Итак, все главные миноры положительны. Следовательно, третья квадратичная форма положительно определённая.