IX. Билинейные и квадратичные формы

9.1. Линейные формы

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства L_n в поле Р (f : L_n Р).

Определение 58. Линейное отображение f : L_n  Р называется линейной функцией или линейной формой, заданной на L_n .

Если е = (е₁, е₂, ... , е_n) – базис в L_n , а – любой вектор из L_n , то а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n, где х₁, х₂, … , х_n – любые элементы поля Р. Если f (е_к) = _к , то f (а) = ₁х₁ + ₂х₂ + … + _n х_n .

Следовательно, любую линейную форму можно задать в виде ₁х₁ + ₂х₂ + … + _n х_n .

Легко показать, что множество всех линейных форм f : L_n  Р является линейным пространством над полем Р.

9.2. Билинейные формы

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р .

Определение 59. Отображение f : (L_n  L_n )  Р называется билинейной формой (или билинейной функцией), заданной на L_n , если для любых векторов а, в, с и любого элемента  Р выполняются условия:

f (а + в, с) = f (а, с) + f (в, с) ; f (а, в + с ) = f (а, в) + f (а, с); f (а) =  f (а).

(Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)

Пусть в L_n зафиксирован базис е = (е₁, е₂, ... , е_n), а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n,

в = у₁е₁ + у₂е₂ + … + у_nе_n, f (е_к , е_р) = _кр . Тогда из определения 58 следует

f (а, в) = f ( ) = = , где _кр – элементы поля Р.

Итак, f (а, в) = (55) – запись билинейной формы в координатах.

Матрица А =

называется матрицей данной билинейной формы. Если х и у – столбцы координат векторов а и в, то билинейную форму можно записать в матричном виде: f (а, в) = хТ А  у (56)

Если е¹ = (е₁¹, е₂¹, ... , е_n¹) – другой базис в L_n и Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹, то столбцы координат векторов а и в в этих базисах связаны формулами х = Тх¹, у =Ту¹. Подставив в формулу (56), получим f (а, в) = (Тх¹)^Т А  (Ту¹) = (х¹)^Т(Т^ТАТ)у¹. Следовательно, матрицы билинейной формы в разных базисах связаны формулой

А¹ = Т^ТАТ (57)

Определение 60. Билинейная форма называется симметрической, если

f (а, в) = f ( в, а) для любых векторов а и в. (57)

Очевидно, верно следующее утверждение:

Теорема 62. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда она в любом базисе имеет симметрическую матрицу.

Теорема 63. В любом базисе евклидова пространства Е_n скалярное произведение векторов задаётся симметрической билинейной формой.

Доказательство. По формуле (42) скалярное произведение векторов а и в равно

(а, в) = х ^ТГу. Матрица Г – симметрическая, поэтому, согласно формуле (56), скалярное произведение задано симметрической билинейной формой.

9.3. Квадратичные формы

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в).

Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на L_n ((а) = f(а, в) ). При этом f(а, в) и (а) называются соответствующими друг другу.

Если в пространстве L_n задан базис е = (е₁, е₂, … , е_n) и а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах

(а) = (59)

Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется

(а) = х^Т А х (60)

Если в пространстве L_n зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на L_n и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на L_n , есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка n. Размерность этого пространства равна .

Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А¹ в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А¹ = Т^ТАТ , где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, Т^Т – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве L_n такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.

Определение 62. Если (а) = ₁х₁² + ₂х₂² + … + _n х_n², то говорят, что квадратичная форма (а) имеет канонический вид.

Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и

(а) = х₁² + х₂² + … + х_к² – х_к+1² – … – х_r²,

то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = С нормальным видом квадратичной формы называют (а) = х₁² + х₂² + …+ х_к² + х_к+1² + .+ х_r².

Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Пусть (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве L_n . Пусть в L_n задан базис е и пусть в этом базисе (а) = х^Т А х . Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А¹ = Т^–1АТ будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е¹, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е¹. Так как для ортогональной матрицы Т ^–1 = Т ^Т, то А¹ – матрица данной формы в базисе е¹. Итак, в базисе е¹ данная форма имеет канонический вид.

Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.

Теорема 65. Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.

Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю.

1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам ().

()	Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах (а) = у12 + у22 + … + уr2. Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы. 2) Если Р = R , т.е. (а) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми.
()	(а) = 1х12 + 2х22 + … + к хк2 – к+1хк+12 – … – rхr2 Сделаем преобразование координат по формулам (), получим (а) = у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2 . Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

 = 2х₁х₂ + 2х₁х₃ – 2х₁х₄ – 2х₂х₃ + 2х₂х₄ + 2х₃х₄ .

Решение. Матрица данной квадратичной формы

А =	Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы 1 = 2 = 3 = 1, 4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден е11 = е21 = ,
А1 =	е31 = , е41 = (1, –1, –1, 1). В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису е1 будет матрица Т.
Т =	Следовательно, форма  будет иметь следующий канонический вид  = х12 + х22 + х32 – 3х42.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма (а) = . Если n = 1, то форма уже имеет канонический вид, поэтому рассуждение можно вести индукцией по числу переменных. Пусть форму можно привести к каноническому виду, если число переменных не более (n – 1). Докажем его для n переменных. Возможны два случая.

1) Все коэффициенты _кк = 0. Если все коэффициенты равны 0, то можно считать, что форма имеет канонический вид. Поэтому пусть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что ₁₂  0. Сделаем преобразование координат: х₁ = у₁ – у₂ , х₂ = у₁ + у₂ , х₃ = у₃ , … , х_n = у_n . В новых координатах

(а) = ₁₂у₁² – ₁₂у₂² +  , где  не будет содержать у₁² и у₂², поэтому эти слагаемые ни с чем проведены быть не могут. Следовательно, достаточно рассмотреть случай

2) Хотя бы один коэффициент при квадратах переменных отличен от нуля. Пусть ₁₁ 0. Соберём в форме (а) все слагаемые, содержащие х₁, вынесем ₁₁ за скобки, дополним полученную скобку до полного квадрата и компенсируем сделанные добавки.

₁₁( ) +

+  (х₂, х₃, … ,х_n), где  (х₂, х₃, … ,х_n) – квадратичная форма от (n – 1) переменной. По предположению индукции форму  (х₂, х₃, … ,х_n) можно с помощью преобразования координат (х₂, х₃, … ,х_n) привести к каноническому виду. Дополнив это преобразование формулой у₁ = , получим, что (а) = .

Рассмотрим этот способ упрощения квадратичной формы на примере.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

1)  = 3х₁² + 5х₂² + х₃² – 6х₁х₂ + 9х₁х₃ – 7х₂х₃ .

Решение. Коэффициент при х₁² отличен от нуля, поэтому соберём слагаемые, содержащие х₁ (они подчёркнуты), вынесем за скобки коэффициент при х₁² (т.е. 3) и дополним выражение в скобках до полного квадрата (за скобками компенсируем то, что добавили в скобках), получим

 = 3(х₁² – 2х₁х₂ + 3х₁х₃ + х₂² + х₃² – 3х₂х₃) – 3х₂² – х₃² + 9х₂х₃ + 5х₂² + х₃² – 7х₂х₃ =

= 3(х₁ – х₂ + х₃)² +2х₂² – х₃² + 2х₂х₃. Так как коэффициент при х₂² отличен от нуля, то соберём слагаемые, содержащие х₂, вынесем коэффициент при х₂² за скобку и дополним выражение в скобках до полного квадрата. Получим

 = 3(х₁ – х₂ + х₃)² +2(х₂² + х₂х₃ + х₃²) – х₃² – х₃² =3(х₁ – х₂ + х₃)² + 2(х₂ + х₃)² – х₃². Сделаем преобразование координат:

у₁ = х₁ – х₂ + х₃ , у₂ = х₂ + х₃ , у₃ = х₃. В новых координатах получим, что

 = 3у₁² + 2у₂² – у₃².

Если квадратичная форма задана над полем действительных чисел, то сделав ещё одно преобразование координат: z₁ = у₁, z₂ = у₂ , z₃ = у₃ , получим нормальный вид данной формы  = z₁² + z₂² – z₃².

2)  = х₁х₃ + 2х₂х₃ + 4х₃х₄ .

Решение. Так как данная квадратичная форма не содержит квадратов переменных, то сначала сделаем преобразование координат по формулам: х₁ =у₁ – у₃, х₂ =у₂, х₃ =у₁ + у₃, х₄= у₄. Получим  = (у₁– у₃)( у₁ + у₃) + 2у₂(у₁– у₃) + 4(у₁ + у₃)у₄ = у₁²– у₃² + 2у₁у₂ + 4у₁у₄ –2у₂у₃ + 4у₃у₄. Соберём слагаемые с у₁ (коэффициент при у₁² равен 1, поэтому ничего за скобки выносить не надо). Получим  = (у₁²+ 2у₁у₂ + 4у₁у₄ + у₂² +4у₄²+4у₂у₄) – у₂²– 4у₄²– 4у₂у₄ – у₃²– 2у₂у₃ + 4у₃у₄ = = (у₁ + у₂ + 2у₄)² – (у₂² + 2у₂у₃ + 4у₂у₄ + у₃² + 4у₄² + 4у₃у₄) + у₃²+ 4у₄² + 4у₃у₄ – 4у₄²– у₃² + 4у₃у₄ = = (у₁ + у₂ + 2у₄)² – (у₂ + у₃ + 2у₄)² + 4у₃у₄. Для преобразования последнего слагаемого снова нужно положить у₃ = z₃ – z₄, у₄ = z₃ + z₄. Отсюда z₃ = , z₄ = . Итак, сделаем преобразование координат по формулам:

z₁ = у₁ + у₂ + 2у₄ , z₂ = у₂ + у₃ + 2у₄ , z₃ = , z₄ = . В новых координатах

 = z₁² – z₂² + 4z₃² – 4z₄².

Получили канонический вид данной квадратичной формы над полем действительных чисел.