3.4. Умножение квадратных матриц одного порядка.

Произведение любых двух квадратных матриц одного порядка всегда определено. При умножении двух квадратных матриц n-го порядка получится матрица того же порядка.

Теорема 7. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей сомножителей.

Доказательство. Пусть А = , В = . Составим

С =

матрицу С и вычислим её определитель двумя способами. Сначала используем теорему Лапласа, разложив его по первым n строкам. Получим С = АВ. Для вычисления вторым способом преобразуем матрицу С, используя те преобразования, которые не меняют определитель. К (n +1)-му столбцу матрицы С прибавим 1-ый столбец, умноженный на , 2-ой столбец, умноженный на , … , n-ый столбец, умноженный на .

Тогда в (n +1)-м столбце на первых n местах будут стоять элементы первого столбца матрицы АВ, а на остальных местах – нули.

С1 =

Продолжая аналогичные преобразования с (n +2)-м и т.д. столбцами, получим матрицу С1. Здесь скр – элементы произведения АВ. Очевидно, С1 = С. Определитель матрицы С1 вычислим, разлагая его (по теореме Лапласа) по последним n строкам. Получим С = (1)n(1)кАВ, где к = 1 + 2 + …+ n + + (n + 1) + … + 2n = (2n + 1 )n. Так как (2n + 1 )n + + n = 2(n + 1 ), то С = АВ . Итак, АВ  = АВ (12).

Если А  0, то матрица А называется невырожденной, если же А = 0, то матрица А вырожденная. Из теоремы 7 следует, что произведение двух невырожденных квадратных матриц одного порядка есть невырожденная матрица того же порядка, если же одна из матриц вырожденная, то их произведение – тоже вырожденная матрица.

Квадратная матрица Е = называется единичной матрицей. Легко проверить, что ЕА = АЕ для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же порядок, что и Е. Очевидно, Е = 1.

Определение 11. Матрица В называется правой обратной для матрицы А, если ВА= Е и левой обратной для А, если АВ = Е.

Возникает вопрос, всякая ли квадратная матрица имеет левую или правую обратную матрицу. Если В – левая или правая обратная матрица, то (по теореме 7) ВА = АВ = 1, т.е. матрица А не может быть вырожденной.

Пусть А квадратная невырожденная матрица, найдём алгебраические дополнения для всех её элементов. Составим новую матрицу А^ следующим образом: алгебраические дополнения элементов к-ой строки матрицы А поставим в к-ый столбец матрицы А^, т.е. А^ = . Матрица А^ называется присоединённой для матрицы А. По правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что

АА^= А^А = = АЕ.

Так как А  0, то матрица В = существует и АВ = ВА = Е, т.е. матрица В является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется обратной матрицей для А и обозначается А^-1. Итак, получили

Теорема 8. Для всякой квадратной невырожденной матрицы существует обратная матрица. Обратная матрица перестановочна с данной матрицей и вычисляется по формуле

А^-1= (13)

Пример 4. Найдите обратную матрицу, если А = .

Решение. Найдём А = 10 + 12 + 0 – 0 + 4 + 12 = 36.

Составим присоединённую матрицу, для этого вычислим алгебраические дополнения. А₁₁ = = 14, А₁₂ = =  6, А₁₃ = = 3, А₂₁ = = 8, А₂₂ = = 2, А₂₃ = = 1, А₃₁ = = 28, А₃₂ = = 16, А₃₃ = = 11. Используя теорему 8, получим А^-1 = .