9.6. Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теорема 70. Квадратичная форма над полем комплексных чисел распадается тогда и только тогда, когда её ранг меньше или равен двум. Квадратичная форма над полем действительных чисел распадается тогда и только тогда, когда либо её ранг не больше единицы, либо её ранг равен двум, а положительный индекс инерции равен единице.
Доказательство. Если форма нулевая (её ранг равен нулю), то утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим любую ненулевую форму (а).
Пусть квадратичная форма распадающаяся. Тогда
(а) = (1х1 + 2х2 + … + nхn)(1х1 + 2х2 + … + nхn).
Возможны два случая:
1. к = к для всех к = 1, 2, … , n. Тогда (а) = (1х1 + 2х2 + … + nхn)2.
Сделав преобразование координат по формулам:
у1 = 1х1 + 2х2 + … + nхn , у2 = х2 , … , уn = хn , получим (а) = у12. Но это канонический вид данной формы. Следовательно, ранг формы равен 1.
2. Не все к равны соответствующим к .
Сделав преобразование координат по формулам:
у1 = 1х1 + 2х2 + … + nхn , у2 = 1х1 + 2х2 + … + nхn , у3 = х3 , … , уn = хn , получим
= у1у2 .
Сделав ещё одно преобразование координат по формулам:
у1 = z1 – z2 , у2 = z1 + z2 , у3 = z3 , … , zn , получим = z12 – z22. В случае поля действительных чисел это выражение является нормальным видом данной формы. Следовательно, ранг формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1. Если дана форма над полем комплексных чисел, то преобразование у1 = z1 –i z2 , у2 = z1 +i z2 , у3 = z3 , … , zn приводит форму к виду = z12 + z22. Ранг этой формы равен 2.
Если действительная или комплексная форма имеет ранг 1, то она приводится к нормальному виду (а) = у12. Из формул преобразования координат у1=1х1 + 2х2 +…+ nхn . Но тогда = (1х1 + 2х2 + … + nхn)2, т.е. форма распадающаяся.
Если комплексная форма имеет ранг 2, то она приводится к виду
= z12 + z22 = (z1 – i z2)( z1 +i z2).
Подставив вместо z1 и z2 их выражения из формул преобразования координат, получим в исходных координатах (а) = (1х1 + 2х2 + … + nхn)(1х1 + 2х2 + … + nхn), т.е. форма распадающаяся.
Если действительная форма имеет ранг 2 и положительный индекс инерции 1, то она приводится к виду = z12 – z22 = (z1 – z2)(z1 + z2). Подставив вместо z1 и z2 их выражения, получим (а) = (1х1 + 2х2 + … + nхn)(1х1 + 2х2 + … + nхn), т.е. форма распадающаяся.
Пример. Будет ли распадающейся над полем действительных чисел квадратичная форма: = 3х12 + 3х1х2 – 2х1х3 + 8х1х4 – 2х2х3 + 5х2х4 – 2х3х4 + 5х42.
Решение. Приведём форму к каноническому виду.
=
(36х12
+ 36х1х2 –
24х1х3 +
96х1х4 +
9х22 + 4х32
+ 64х42 –
12х2х3 + 48х2х4
– 32х3х4) –
х22
–
–
х32
–
х42
+ х2х3 –
4х2х4 +
х3х4
– 2х2х3 +
5х2х4 – 2х3х4
+ 5х42 =
(6х1
+ 3х2 – 2х3
+ 8х4)2 –
–
(
х22
+ 3х2х3 –
3х2х4 +
х32 + х42
– 2х3х4) +
х32
+
х42
–
х3х4
–
х32
–
х42
+
х3х4
–
– 2х3х4 + 5х42
=
(6х1
+ 3х2 – 2х3
+ 8х4)2 –
(
х2
+ х3 – х4)2.
Отсюда видно, что ранг данной формы
равен 2, а положительный индекс инерции
равен 1, следовательно, форма распадается.
Действительно,
= (3х1 + х2 – х3 + 4х4 + х2 + х3 – х4)( 3х1 + х2 – х3 + 4х4 – х2 – х3 + х4).
Отсюда = (х1 + х2 + х4)(3х1 – 2х3 + 5х4).