7.2. Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Е_n – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е₁, е₂, ... , е_n ) – базис в нём. Так как в Е_n для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов, заданных координатами.

Пусть в базисе е заданы векторы а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n , в = у₁е₁+ у₂е₂ + … + у_nе_{n .} Тогда (а, в) = (х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n)( у₁е₁+ у₂е₂ + … + у_nе_n) = = х ^ТГу, где х ^Т– строка координат вектора а, у – столбец координат вектора в . Итак, (а, в) = х ^ТГу (42).

Свойства матрицы Грама.

1⁰. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (е_к, е_s ) = (е_s , е_к ).

2⁰. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что е_к  0 и, следовательно, (е_к, е_к )  0.

3⁰. Для матрицы Грама и любого n-мерного столбца х выполняется условие х ^ТГх  0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х ^ТАх  0 для любого

ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама положительно определённая.

4⁰. Пусть е = (е₁, е₂, ... , е_n ) и е¹ = (е₁¹, е₂¹, ... , е_n¹ ) –два базиса в Е_n , Г и Г¹ – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е¹ соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹. Тогда (а, в) = х ^ТГу, х = Тх¹, у = Ту¹, х ^Т= (Тх¹)^Т= (х¹)^Т Т^Т. Следовательно, (а, в) = ((х¹)^Т Т^Т) Г (Ту¹) = (х¹)^Т (Т^Т Г Т ) у¹. Но (а, в) = (х¹)^Т Г¹ у¹. Отсюда

Г¹ = Т^Т Г Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

5⁰. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (42) следует  Г¹ = Т^Т Г Т = Г Т ². Так как Т ² 0, то  Г¹ и  Г имеют одинаковые знаки.

Примеры.

1. Во множестве М₂ квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е₁ = , е₂ = , е₃ = , е₄ = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е₁, е₁) = 1, (е₁, е₂) = (е₂, е₁) = 0, (е₁, е₃) = (е₃, е₁) = 0, (е₁, е₄) = (е₄, е₁) = 0, (е₂, е₂) = 1, (е₂, е₃) = (е₃, е₂) = 0, (е₂, е₄) = (е₄, е₂) = 0, (е₃, е₃) = 1, (е₃, е₄) = (е₄, е₃) = 0, (е₄, е₄) = 1. Следовательно,

Г = .

2. В пространстве R[х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где  и  – фиксированные действительные числа,   . Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х², х³).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = =  – ,

(1, х) = (х, 1) = = ), (1, х²) = (х², 1) = = ), (1, х³) = (х³, 1) = = ), (х, х) = = ), (х, х²) = (х², х) = = ), (х, х³) = (х³, х) = = ), (х², х²) = = ), (х², х³) = (х³, х²) = = ), (х³, х³) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

Г = .

3. В базисе (е₁, е₂, е₃) пространства Е₃ скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4)   = 7.