6.2. Область значений и ядро линейного оператора
Пусть : Ln Lm линейный оператор.
Определение 33. Областью значений оператора называется множество (Ln) образов всех элементов из Ln .
Теорема 32. Область значений линейного оператора : Ln Lm есть линейное подпространство в Lm .
Доказательство. По определению линейного оператора (Ln) Lm. Пусть в и с – любые два вектора из (Ln). Тогда существуют такие векторы а1 и а2 из Ln , что (а1) = в, (а2) = с. Тогда, по определению 311, (а1 + а2) = (а1) + (а2) = в + с. Так как а1 + а2 Ln , то (а1 + а2) (Ln), т.е. в + с (Ln). Отсюда следует, что (Ln) – линейное подпространство в Lm .
Определение 34. Ядром линейного оператора : Ln Lm называется множество всех векторов из Ln , отображающихся в нулевой вектор пространства Lm .
Теорема 33. Ядро линейного оператора : Ln Lm является линейным подпространством в пространстве Ln . (Обозначение ядра Ker() )
Доказательство. По определению ядра Ker() Ln . Если а1 и а2 Ker(), то (а1) = 0, (а2) = 0. Но тогда (а1 + а2) = (а1) + (а2) = 0 + 0 = 0 а1 + а2 Ker(). Итак, Ker() – линейное подпространство в пространстве Ln .
Примеры. 1. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – реперы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор : L3 L5 задан по правилу (х1е1 + х2е2 + х3е3 ) = х1а1 + х2а2 + х3а3. Найти (L3) и Ker().
Решение. Так как х1, х2, х3 – любые элементы поля коэффициентов Р, то х1а1 + х2а2 + х3а3 – любой вектор из линейной оболочки а1, а2, а3 . Итак, (L3) = а1, а2, а3 .
(х1е1 + х2е2 + х3е3 ) = 0 х1а1 + х2а2 + х3а3 = 0 х1(1, 4, –1, 3, 0) + х2(3, 0, 1, –3, 7)+ + х3(1, 1, 2, 2, 0) = (х1 + 3х2 + х3 , 4х1 + х3 , –х1 + х2 + 2х3 , 3х1 –3х2 + 2х3 , 7х2 ) = 0
-
Для нахождения х1, х2. х3 получили систему пяти уравнений с тремя неизвестными. Решая её, получим х1 = х2 = х3 = 0. Следовательно, ядро данного линейного оператора состоит только из нулевого вектора.
2. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – реперы в L3 и L5 соответственно. Пусть линейный оператор : L5 L3 задан правилом ( х1f1 + х2f2 + х3 f3 + х4f4 + х5f5) = х1е1 + х2е2 + х3е3. Найти (L3) и Ker().
Решение. Очевидно, (L5) = е1, е2, е3 = L3. Найдём ядро.
( х1f1 + х2f2 + х3 f3 + х4f4 + х5f5) = 0 х1е1 + х2е2 + х3е3 х1 = х2 = х3 = 0. Итак, ядро состоит из векторов вида а = (0, 0, 0, х4, х5 ), где х4, х5 – любые элементы поля Р.
6.3. Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа
Пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р и : Ln Lm линейный оператор. Зафиксируем в Ln и Lm базисы е = (е1, е2, … , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ) соответственно. Если (е) = ((е1), (е2), … , (еn)), то все векторы (ек) Lm . Выразим их через базис f.
-
(31)Матрица А =
называется матрицей оператора в паре базисов е и f .
Формулы (31) можно записать в матричном виде: (е) = fА (32)
Пусть а – произвольный вектор из Ln и (а) – его образ в Lm . Пусть х – столбец координат этого вектора в базисе е и х1 – столбец координат вектора (а) в базисе f . Тогда а = е х , (а) = (е) х, (а) = fх1. Следовательно, (е) х = fх1. Используя (32), получим (fА)х = fх1, или f(Ах) = fх1. Отсюда х1 = Ах (33).
Следствие. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждому линейному оператору, действующему из Ln в Lm соответствует единственная матрица размерности mn с элементами из поля Р.
Теорема 34. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждая матрица размерности mn с элементами из поля Р является матрицей одного и только одного линейного оператора, действующего из Ln в Lm .
Доказательство. Пусть дана матрица А = с элементами из поля Р и пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р. Зафиксируем в Ln и Lm базисы е = (е1, е2, … , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ) соответственно. В пространстве Lm зададим векторы а1 = (11, 21, … , m1), а2 = (12, 22, … , m2), … , аn (1n, 2n ,… , mn ). Если искомый линейный оператор существует, то должно быть (ек) = ак для любого к = 1, 2, … , n . По теореме 31 такой оператор существует и только один.
Следствие. Между множеством линейных операторов, действующих из Ln в Lm , и множеством матриц размерности mn с элементами из поля Р устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Если в Ln и Lm зафиксированы базисы е = (е1, е2, … , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ), то при сложении линейных операторов складываются соответствующие им матрицы. Если линейный оператор умножить на элемент поля Р, то на этот элемент умножится и соответствующая матрица.
Следствие. Линейное пространство линейных операторов, действующих из Ln в Lm , изоморфно линейному пространству матриц размерности mn с элементами из поля Р.
Следствие. Размерность линейного пространства линейных операторов, действующих из Ln в Lm , равна mn .