15. Обчислення похибки індивідуального прогнозу. Побудова довірчих інтервалів для індивідуального прогнозного значення результуючої змінної, геометрична інтерпретація

Похибка оцінки індивідуального прогнозу обчислюється за формулою:

Довірчий інтервал для індивідуального прогнозу будується за формулами:

За таблицями розподілу Стьюдента з рівнем значущості α=0,05 та кількістю ступенів вільності v=20-2=18 значення імовірнісного коефіцієнта tp=2,101.

Обчислення проводяться за схемою, аналогічною схемі обчислення стандартної вибіркової похибки ПЛКРМ . В таблиці подані обчислені стандартні вибіркові похибки індивідуального прогнозу і межі довірчих інтервалів для конкретного значення денного товарообороту, за значенням кількості працівників.

Довірчий інтервал для індивідуального прогнозу геометрично інтерпретується смугою між двома гіперболами:

№ попорядку	Syi	∆yi	ỹi-∆yi	ỹi+∆yi
1	64,57985	135,6823	186,9018	458,2663
2	64,45225	135,4142	219,1832	490,0116
3	64,45225	135,4142	219,1832	490,0116
4	64,60202	135,7288	250,8819	522,3395
5	64,60202	135,7288	250,8819	522,3395
6	64,60202	135,7288	250,8819	522,3395
7	65,02725	136,6223	282,0018	555,2463
8	65,02725	136,6223	282,0018	555,2463
9	65,72261	138,0832	312,5541	588,7205
10	65,72261	138,0832	312,5541	588,7205
11	65,72261	138,0832	312,5541	588,7205
12	66,67963	140,0939	342,5568	622,7446
13	69,33237	145,6673	401,01	692,3446
14	71,0005	149,1721	429,5186	727,8627
15	71,0005	149,1721	429,5186	727,8627
16	71,0005	149,1721	429,5186	727,8627
17	72,87633	153,1132	457,5908	763,8171
18	72,87633	153,1132	457,5908	763,8171
19	72,87633	153,1132	457,5908	763,8171
20	74,94426	157,4579	485,2594	800,1752

16.Оцінка коефіцієнта кореляції

Всі випадкові величини ми оцінювали до цього часу (випадкові відхилення, параметри b₀ , b₁) мали нормальний закон розподілу (або близький до нього), тому для їхньої оцінки можна було будувати симетричний довірчий інтервал, використовуючи таблиці нормального закону розподілу або розподілу Стьюдента:

_{Коефіцієнт кореляції r не є нормально розподілена випадкова величина. Областю його допустимих значень є інтервал [-1;1], а нормального закону розподілу(-∞;+∞).}

_{Особливо сильно розподіл r відрізняється від нормального при тісному зв’язку між змінними, тобто коли r за абсолютною величиною близький до одиниці.}

_{Щоб мати змогу оцінити r в таких випадках Фішер запропонував спочатку перейти від випадкової змінної r до випадкової змінної z:}

Він показав, що випадкова величина z розподілена за нормальним законом розподілу з математичним сподіванням:

, де ρ – істинне значення r для генеральної сукупності;

та дисперсією:

Тоді стандартна вибіркова похибка випадкової величини z:

Гранична вибіркова похибка z при заданому значенні довірчої ймовірності р:

Припустимо, що ζ – невідоме значення випадкової величини z, яке відповідає коефіцієнту кореляції ρ, тоді довірчий інтервал для значення ζ має вигляд:

, де z_p – значення випадкової величини z, яке згідно з відповідає вибірковому коефіцієнту кореляції r.

Введемо позначення:

z₁=z_r-Δ_z z₂=z_r+Δ_z

Тоді .

Здійснивши обернене перетворення від змінної z до змінної r за формулою:

отримаємо довірчий інтервал для істинного значення коефіцієнта кореляції ρ генеральної сукупності , де

Якщо значення r близьке до 0, тобто зв'язок між змінними слабкий, то розподіл випадкової величини r надлижається до нормального, особливо при великих обсягах вибірки. В таких випадках стандартну похибку коефіцієнта кореляції визначають за формулою: . Далі оцінка істинного значення коефіцієнта кореляції проходить за звичною схемою.

_{1. Переходимо від випадкової змінної r до випадкової змінної z:}

2. Стандартна вибіркова похибка випадкової величини z:

3. Гранична вибіркова похибка z при заданому значенні довірчої ймовірності р=0,95, числі ступенів вільності υ=n-2=20-2=18 та рівні значущості α=1-р=0,05:

4. Визначаємо довірчий інтервал невідомого значення ζ випадкової величини z , яке відповідає істинному значенню коефіцієнта кореляції ρ :

0,787238≤ ζ ≤ 1,806372;

5. Здійснюємо обернене перетворення від змінної z до змінної r, отримаємо довірчий інтервал для істинного значення коефіцієнта кореляції:

r₁= 0,656841;

r₂= 0,947462;

0,656841≤ ρ ≤ 0,947462;

З ймовірністю 0,95 можна очікувати, що істинне значення коефіцієнта кореляції генеральної сукупності ρ набуватиме значення не менші від 0,656841і не більші від 0,947462.