6.3 Методика идентификации моделей объектов III-го порядка второго типа по их временным характеристикам

Системе с кривой разгона второго типа соответствует передаточная функция:

. (6.25)

Для определения коэффициентов этого уравнения объект заменяется последовательным соединением двух звеньев – интегро-дифференцирующего и звена второго порядка (см. рис.6.7).

Рисунок 6.7 – Структурная схема математической модели объекта III-го порядка второго типа

При подаче на вход первого звена единичного возмущения x(t)=1(t), выход звена описывается уравнением ,где δ=α₁b₁-1. Кривые разгона в этом случае являются решениями дифференциального уравнения:

(6.26)

или

. (6.27)

Учитывая, что в точке перегиба(t=t_n) y^''(t_n)=0, уравнение (6.27) преобразуется к виду (см. рис. 6.8):

(6.28)

Интегрируя (6.27) в пределах от t₁ до t₂ получим:

. (6.29)

При t₁=0 и t₂=∞ с учётом того, что y(0)=0, y^'(0)=0, y(∞)=1, y^'(∞)=0,уравнение (6.29) запишется (см. рис. 6.8):

(6.30)

При t₁=t_m, и t₂=∞ уравнение принимает вид:

. (6.31)

Рисунок 6.8 – Площадинад кривой разгона

Совместно решая уравнения (6.30) и (6.31), получим:

. (6.32)

Из (6.28) и (6.30) получим:

. (6.33)

Коэффициенты b и α₁ находят из совместного решения уравнений (6.32) и (6.33) или с помощью номограмм, построенных по этим формулам. Подставляя b и α₁ в (6.29) определяют значение δ=α₁(b-S_0∞). Значениеа вычисляют по формуле:

. (6.34)

Коэффициенты a₁, a₂, a₃ определяют из соотношений (6.5). Значение b₁ определяют, выразив

b₁=(1+δ)/α₁. (6.35)

Уравнения для кривых разгона, по которым можно проверить правильность решения выражаются формулами (6.17), (6.20) и (6.23) причём С₂ и С₃ находят по тем же формулам, а С₁ – по формуле:

. (6.36)

6.4 Методика идентификации моделей объектов III-го порядка третьего типа по их временным характеристикам

Системе с кривой разгона третьего типа соответствует передаточная функция:

(6.37)

Представим структуру системы в виде последовательного соединения двух звеньев: реального дифференцирующегоизвена II-го порядка общего вида (см. рис. 6.9).

Рисунок 6.9 – Структурная схема математической модели объекта III-го порядка третьего типа

При подаче на вход первого звена единичного возмущения x(t)=1(t), выходе звена установится сигнал, описываемый выражением , где δ=α₁b₁. Кривая разгона в этом случае является решением дифференциального уравнения:

(6.38)

Учитывая, что в точке перегиба(t=t_n),y^''(t_n)=0, уравнение (6.38) преобразуется к виду:

(6.39)

Интегрируя (6.38) в пределах от t₁=0 до t₂=∞, получим (см. рис. 6.10)

(6.40)

При интегрировании (6.38) от t₁=t_m до t₂=∞ будем иметь:

(6.41)

Рисунок 6.8 – Площадинад кривой разгона

Из соотношений (6.40) и (6.41)находим:

, (6.42)

а из (6.39) (6.40)получим

. (6.43)

Решение системы из уравнений (6.42) и (6.43) даёт значения α₁ и b.Если проинтегрировать уравнение (6.38) от точки перегиба кривой разгона до t=∞ , получим:

, (6.44)

откуда, учитывая (6.40)

; (6.45)

. (6.46)

Исходные коэффициенты a_i вычисляются по формулам (6.5). Найденные коэффициенты проверяются решением дифференциального уравнения (6.38). Решение этого уравнения зависит от корней характеристического уравнения:

ar²+br+1=0. (6.47)

При этом значение коэффициента с₁ одинаково для любого значения корней:

. (6.48)

Варианты значений корней:

• Вещественные неравные корни: r₁=α₂, r₂=α₃, тогда решение запишется

. (6.49)

где ; . (6.50)

Константы определены с учётом того, что все выкладки производились при нулевых начальных условиях: y(0)=0; y^'(0)=0).

• Вещественные равные корни: r₁=r₂= -α₂, тогда решение запишется

. (6.51)

где ; . (6.52)

• Комплексные корни: , тогда решение запишется

. (6.53)

где ; . (6.54)

На основе изложенного метода идентификации моделей в виде дифференциального уравнения (передаточной функции) по кривой разгона можно установить следующую последовательность действий:

1. Определение принадлежности кривой разгона к одному из типов, рассматриваемых в методике.

2. Для всех кривых, кроме последнего типа устанавливается относительный масштаб по ординате, соответствующий y_уст=1 и вычерчивается приведенная кривая разгона.

3. По приведенной кривой разгона определяются значения:t_n, t_m, y(t_n), y(t_m), y^'(t_n), S_0∞, S_n∞, S_m∞

4. Из соответствующих уравнений определяются значения α₁ и b.

5. Для кривых типа II и III определяются значения δ.

6. В зависимости от типа кривой по соответствующим формулам определяют коэффициент а.

7. Определяются коэффициенты дифференциального уравнения а₁, а₂, а₃ из соотношений (6.5). Для кривых типа II и III определяют значение b₁.

8. Определяются постоянные интегрирования в зависимости от типа.

9. Производится проверка с помощью графического построения, проверяется решение дифференциального уравнения.