5Методика идентификации моделей в виде передаточной функции по кривым разгона на основе метода площадей (метод симою)

Для расчета и построения системы автоматического управления технологическим объектом необходимо знать его математическую модель. В инженерной практике в качестве моделей технологических объектов чаще используют передаточные функции. Передаточная функция конкретного объекта управления находится, как правило, из кривой разгона (графика переходного процесса). Кривая разгона, представляющая собой график изменения выходной (регулируемой) величины во времени при подаче на вход объекта ступенчатого воздействия, может быть легко определена опытным путем.

Рассмотренные выше методы идентификации параметров объекта управления являются приближенными. Для более точной идентификации параметров объекта используют метод М.П. Симою, или «метод площадей», который позволяет определить параметры передаточной функции по кривой разгона объекта. Этот метод является одним из наиболее эффективных и удобных для реализации на ЭВМ.

При подаче на вход объекта ступенчатого возмущения выходная величина будет изменяться с течением времени плавно и изменяться на величину (см. рис. 5.1). Здесь и – начальные значения соответственно выходной и входной величин, и – установившиеся (конечные) значения этих величин.

Рисунок 5.1 – Экспериментальная кривая разгона апериодического звена второго порядка.

В основу метода положено предположение, что исследуемый объект может быть описан безразмерной передаточной функцией с постоянными коэффициентами а₁, а₂, … , а_n, b₁, b₂, … , b_nпредставленной в следующем виде

,n>m (5.1)

При использовании этого метода исходную экспериментальную кривую разгона перестраивают в координатах _вых(), т.е. осуществляется приведение к единице выходной и входной величины в безразмерном виде:

, (5.2)

. (5.3)

В результате перестроения и получают исходную характеристику в диапазоне [0,1] как изображено на рис. 5.2

Рисунок5.2 – Преобразование экспериментальной кривой разгона апериодического звена второго порядка при использовании метода Симаю.

Обычно полином A(p) ограничивают 3-им порядком:

. (5.4)

Рассмотрим частные случаи.

1) Если х_вых=0 при =0, то полином B(p) будет 2-го порядка и, следовательно,

. (5.5)

2) Если х_вых=0 при =0 и при =0, что имеет место для данной экспериментальной кривой разгона, то полином B(p) будет 1-го порядка, а искомая математическая модель имеет вид:

. (5.6)

Для решения этой задачи кривую разгона, перестроенную в координатах _вых()на отрезке (0t_уст) разбивают на t_уст / частей, чтобы было 20-30 координат: ₁ ₃₀.

Задача идентификации состоит в определении (n+m) неизвестных коэффициентов b₁,b₂,… , b_m,.a₁,a₂,… , a_nпередаточной функцииW^*(p) из следующей системы уравнений

(5.7)

В системе уравнений i=m+n. Параметры F_i, входящие в систему уравнений, имеют (5.7) аналитические выражения

, (5.8)

, (5.9)

. (5.10)

В формулах (5.7) – (5.10) обозначено: t – величина интервала времени на которые разбивается кривая разгона при ее обработке; i – число интервалов времени; – приведенные значения выходной величины на каждом интервале времени t; – величина интервала времени, пересчитанного в другом масштабе.

Идентификация объекта регулирования должна заканчиваться проверкой адекватности экспериментальной кривой разгона y(t) и считанной по найденной передаточной функции – y^~(t). При проверке адекватности кривые составляют графически и количественно оценивают критерием

, (5.11)

где t_уст – время переходного процесса в объекте управления.

Пример 5.1. Записать систему уравнений для определения коэффициентов передаточной функции , для второго частного случая (5.5).

Решение:

Запишем систему алгебраических уравнений, из которых находим коэффициенты b₁, a₃, a₂, a₁:

.

Выражения замены интеграла на сумму площадей запишутся:

;

,

;

.

Чтобы вернуть нормированную передаточную функцию к передаточной функции объекта , нужно первую умножить на :

.

Если и , то примет вид:

.