53. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Умови діагоналізіруемості мтриці лінійного оператора.

Линейное (векторное) пространство над полем наз множ (Эл которого наз векторами) на котором введено 2 операции сложения и умножения на число (элем поля ) и выполн след аксиомы: 1) 2)

3) 4) 5) 6) 7) 8)

Пусть - 2 лин пространства. Отображение из в наз линейным если выполн аксиома: 1) . 2)

Лин оператором наз лин отображение векторного пространства в себя

Вектор (ненулевой ) наз собственным вектором лин опер если при этом число наз собственным числом (значением) опре .

Число наз собственным числом лин опер если существует такой ненулевой что

Th: собственные векторы отвечающие различным собств значениям линейно не зависимы.

Следствие: кол-во собств значений лин опер превосходит размерности пр-ва.

Множество всех собственных значений лин опер наз спектром

Если собств знач опер то . Система Ур-ий кот должна иметь нетривиальное решение т е нулевое.

Используя теор крамера получаем что данная сис-ма будет иметь не тривиальное решение т и т т когда получен Ур-е наз характеристическим, собств значения и только они явл корнями характер Ур-ия.

Теорема: Для того, чтобы комплексное число  было собственным значением лин.оператора А необходимо и достаточно,чтобы это число являлось корнем характеристического уравнения det (А-)=0.

54. Евклидово пр-во. Ортонормированный базис.

Евклидовым пространством называется линейное векторное пространство с заданным на нем скалярным произведением.

Скалярным произведением на векторном пр-ве наз. отображение симметричность

1) ;

2) линейность ; 3)

Пусть Е-п-мерное Евклидовое пр-во -базис тогда можно расписать в виде тогда обозначим тогда

2 вектора ортогональны равносильно тому, что угол между ними = , т. е. 2 вектора ортогональны т. и т. т. к. их скалярное произведение=0.

Система векторов наз. ортогональной, если вектора этой системы попарно ортогональны.

Система векторов наз. ортонормированной, если она явл. ортогональной и все вектора этой системы имеют единичную длину. ортонормированный базис, тогда

в ортонормированном базисе скалярное произведение = сумме произведений соответ. координат.

Пусть в евклидовом пр-ве Е задан ортонормированный базис . Тогда вектор . Домножим скалярно правую и левую части последнего равенства на . Получим

Т. о., в ортонормированном базисе координаты вектора равны скалярному произведению этого векиора на соответствующий базисный вектор.

Из любой системы векторов евк. пр-ва можно получить ортонормированный базис. Значит в любом евк. пр-ве ортонормированный базис.

55. Квадратичні форми. Матриця квадратичної форми. Зведення квадратичної форми до канонічного виду.

Квадратичной формой переменных наз однородный многочлен второй степени зависящий от переменных.

Многочлен наз однородным в степени

общий вид квадратич формы.

Говорят что квадрат. Форма имеет канонический вид если ее матр явл диагональной если все коэфиц стоящое не при квадратных переменных =0

Квадрат форма имеет нормальный вид если ее матрица явл диагональной и все элементы главной диагонали = или 1, или -1, или 0, или коэфиц при квадрат форме =1, -1, 0, а все остальные коэфиц =0

Преобразование переменных наз линейным если оно имеет вид или в матричной форме

Линейное преобразование наз невырожденным если матр - невырожденная

Приведение к канон виду

Путем невырожденного линейного преобразования(НЛП) вид квадр формы можно упростить к тому чтобы она имела канонический вид.

Наиболее простым способом приведения квадратичной формы явл. Метод выделения полного квадрата (Метод Лагранжа).

Пусть дана квадрат форма 1) если , то сделаем замену переменных

- это слагаемое есть квадрат форма меньшая числа и к ним применяем то же самое

- коэффиц при квадр переем =0 и существует хотя бы один коэф при квадрате то поменяем местами переменные и сведем задачу к предыд.

Опр. 2 квадрат формы наз эквивалентными если 1 они зависят от одинакового кол – ва переменных 2 сущ НЛП переводящее одну из них в другую.

Th: 2 квадрат формы от одинакового числа перемен т и т т когда у них совпадают ранги и сигнатуры.

Опр. 2 к ф над полем наз эквивалентными если они содержат одинаковое число неизв и сущ НЛП переводящее одну в другую

Th: 2 к ф над полем зависящие от одинак числа перемен т и т т когда у них совпад ранги.

Опр. Квадр матр наз унитриугольной если она явл верхнетреуг и по главной диагонали стоят 1

Th: пусть ранг к ф = если первые угольных миноров матр к ф отличных от нуля то сущ унитриугольное преобразование приводящее к ф к каноническ виду. , , , здесь - это -й главный угловой минор.