51 Лінійні векторні простори. Підпростори. Базис і розмірність. Координати вектора.
Линейное
(векторное) пространство над
полем
наз множ (Эл которого наз векторами) на
котором введено 2 операции сложения и
умножения на число (элем поля
)
и выполн след аксиомы: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
?
В качестве
поля
мы будем рассматривать в поле
как в множ действит чисел (в этом случае
пространство наз действит) и поле
(множ комплексных чисел), если не оговорено
противоположное рассматривается
действительное пространство.
Вектор – это элемент векторного пространства.
Базисом ЛВП – наз любая упорядоченная макс лин не зависимая система векторов (любые 2 базиса пространства имеют одинаковое количество векторов)
Размерности
лин пространства
наз число = кол-ву элементов в любом
базисе этого пространства. (в лин
пространстве не определено понятие
длинны вектора и угла между векторами)
Координатами
вектора
в базисе
наз упорядоченный набор коэффициентов
при разложении вектора по базису. (Прим
)
Подпространством лин пространства наз такое его подмножество которое само явл лин простр относительно тех же операций.
Для того чтобы проверить явл ли подмнож подпространством:
сумма 2-х елементов из подмнож лежит в этом подмнож.
Произведение любого числа на любой элемент подмнож лежит в этом подмнож
Базис подпространства всегда можно дополнить до базиса всего пространства
Пересечением
(объединением)
подпространств
и
наз множ тех векторов кот входят в
и
одновременно (кот входят или в
или в
)
Суммой
подпространств
и
наз множ векторов каждый из кот можно
записать в виде суммы 2-х векторов одного
из
другого из
- формула
Грассмана.
Сумма
подпространств наз прямой
если пересечение этих подпространств
состоит только из
Формула
Грассмана:
52. Лінійні оператори у векторному просторі. Ядро, образ, ранг, дефект.
Линейное (векторное) пространство над полем наз множ (Эл которого наз векторами) на котором введено 2 операции сложения и умножения на число (элем поля ) и выполн след аксиомы: 1) 2)
3) 4) 5) 6) 7) 8)
Пусть V и W два различных линейных пр-ва над полем комплексных чисел. Отображение A:VW , которое ставит в соответствие каждому в-ру x пространства V некоторый в-р y пространства W будем называть оператором A, действующим из V в W.
Пример: 1.Для фиксированного числа лин. оператором явл. отображение VV , пропорциональное тождественному и переводящее произвольный вектор xV в вектор x.
Пусть
- 2 лин пространства.
Отображение
из
в
наз линейным
если выполн аксиома: 1)
.
2)
Лин оператором наз лин отображение векторного пространства в себя..
Матрица лин оператора в данном базисе наз матр по столбцам кот записаны корд образов базисных векторов в этом базисе.
Ядро лин
оператора – множ всех векторов, кот
переходят в
(
Дефектом
лин
опер наз размерность его ядра (
)
Образом оператора А наз. мн-во ImA всех векторов пр-ва V, каждый из кот-х имеет преобр-е ,то есть если у ImA, то хV, у=А*х.
Ранг
лин опер наз размерность его образа
Th:
для любого лин опер его
+
=
размерности пространства
+
=
Th: ранг лин опер = рангу матр лин опер в любом базисе.