Результаты вычислений

В следующей таблице представлены результаты вычисления корня при различных комбинациях параметров Eps, Delta. Также представлены сравнения теоретических и экспериментальных значений абсолютного числа обусловленности.

Delta = 0.1

Eps X Fi(x) Fi'(x) F(x) N Eps_Theor Condit

0.1 0.4 0.4 0.0 -0.1 2 0.100000 good

0.01 0.40 0.4 0.0 -0.1 2 0.100000 bad

0.001 0.400 0.4 0.0 -0.1 2 0.100000 bad

0.0001 0.4000 0.4 0.0 -0.1 2 0.100000 bad

0.00001 0.40000 0.4 0.0 -0.1 2 0.100000 bad

0.000001 0.400000 0.4 0.0 -0.1 2 0.100000 bad

Delta = 0.01

Eps X Fi(x) Fi'(x) F(x) N Eps_Theor Condit

0.1 0.4 0.44 -0.02 0.01 2 0.010200 good

0.01 0.44 0.44 -0.02 0.01 2 0.010200 bad

0.001 0.440 0.44 -0.02 0.01 2 0.010200 bad

0.0001 0.4400 0.44 -0.02 0.01 2 0.010200 bad

0.00001 0.44000 0.44 -0.02 0.01 2 0.010200 bad

0.000001 0.440000 0.44 -0.02 0.01 2 0.010200 bad

Delta = 0.001

Eps X Fi(x) Fi'(x) F(x) N Eps_Theor Condit

0.1 0.4 0.438 -0.022 0.000 2 0.001022 good

0.01 0.44 0.438 -0.022 0.000 2 0.001022 good

0.001 0.438 0.438 -0.022 0.000 3 0.001022 bad

0.0001 0.4380 0.438 -0.022 0.000 3 0.001022 bad

0.00001 0.43800 0.438 -0.022 0.000 3 0.001022 bad

0.000001 0.438000 0.438 -0.022 0.000 3 0.001022 bad

Delta = 0.0001

Eps X Fi(x) Fi'(x) F(x) N Eps_Theor Condit

0.1 0.4 0.4379 -0.0218 0.0000 2 0.000102 good

0.01 0.44 0.4379 -0.0218 0.0000 2 0.000102 good

0.001 0.438 0.4379 -0.0218 0.0000 3 0.000102 good

0.0001 0.4379 0.4379 -0.0218 0.0000 3 0.000102 bad

0.00001 0.43790 0.4379 -0.0218 0.0000 3 0.000102 bad

0.000001 0.437900 0.4379 -0.0218 0.0000 3 0.000102 bad

Delta = 0.00001

Eps X Fi(x) Fi'(x) F(x) N Eps_Theor Condit

0.1 0.4 0.43790 -0.02177 0.00006 2 0.000010 good

0.01 0.44 0.43790 -0.02177 0.00006 2 0.000010 good

0.001 0.438 0.43790 -0.02177 0.00006 2 0.000010 good

0.0001 0.4379 0.43791 -0.02178 -0.00002 3 0.000010 good

0.00001 0.43791 0.43791 -0.02177 0.00001 5 0.000010 bad

0.000001 0.437910 0.43791 -0.02177 0.00001 5 0.000010 bad

Delta = 0.000001

Eps X Fi(x) Fi'(x) F(x) N Eps_Theor Condit

0.1 0.4 0.437906 -0.021774 0.000049 2 0.000001 good

0.01 0.44 0.437906 -0.021774 0.000049 2 0.000001 good

0.001 0.438 0.437906 -0.021774 0.000049 2 0.000001 good

0.0001 0.4379 0.437906 -0.021776 -0.000001 3 0.000001 good

0.00001 0.43791 0.437906 -0.021776 -0.000001 4 0.000001 good

0.000001 0.437906 0.437906 -0.021776 -0.000001 4 0.000001 bad

Далее представлена таблица, иллюстрирующая сходимость метода простых итераций.

Delta 0.100000000

Eps 0.100000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.400000000 0.400000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.010000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.400000000 0.400000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.001000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.400000000 0.400000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.000100000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.400000000 0.400000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.000010000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.400000000 0.400000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.000001000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.400000000 0.400000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.100000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.440000000 0.440000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.010000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.440000000 0.440000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.001000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.440000000 0.440000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.000100000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.440000000 0.440000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.000010000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.440000000 0.440000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.000001000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.440000000 0.440000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.100000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.437000000 0.438000000 0.001000000 0.093474227

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.010000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.437000000 0.438000000 0.001000000 0.093474227

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.001000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.437000000 0.438000000 0.001000000 0.093474227

3 0.437000000 0.438000000 0.438000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.000100000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.437000000 0.438000000 0.001000000 0.093474227

3 0.437000000 0.438000000 0.438000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.000010000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.437000000 0.438000000 0.001000000 0.093474227

3 0.437000000 0.438000000 0.438000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.000001000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.437000000 0.438000000 0.001000000 0.093474227

3 0.437000000 0.438000000 0.438000000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.100000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436900000 0.437900000 0.001000000 0.006525773

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.010000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436900000 0.437900000 0.001000000 0.006525773

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.001000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436900000 0.437900000 0.001000000 0.006525773

3 0.436900000 0.437900000 0.437900000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.000100000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436900000 0.437900000 0.001000000 0.006525773

3 0.436900000 0.437900000 0.437900000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.000010000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436900000 0.437900000 0.001000000 0.006525773

3 0.436900000 0.437900000 0.437900000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.000001000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436900000 0.437900000 0.001000000 0.006525773

3 0.436900000 0.437900000 0.437900000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.100000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436950000 0.437930000 0.000980000 0.023953293

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.010000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436950000 0.437930000 0.000980000 0.023953293

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.001000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436950000 0.437930000 0.000980000 0.023953293

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.000100000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436950000 0.437930000 0.000980000 0.023953293

3 0.436950000 0.437930000 0.437900000 0.000030000 0.217525767

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.000010000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436950000 0.437930000 0.000980000 0.023953293

3 0.436950000 0.437930000 0.437900000 0.000030000 0.217525767

4 0.437930000 0.437900000 0.437910000 0.000010000 0.347422700

5 0.437900000 0.437910000 0.437910000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.000001000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436950000 0.437930000 0.000980000 0.023953293

3 0.436950000 0.437930000 0.437900000 0.000030000 0.217525767

4 0.437930000 0.437900000 0.437910000 0.000010000 0.347422700

5 0.437900000 0.437910000 0.437910000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.100000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436952000 0.437927000 0.000975000 0.020999207

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.010000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436952000 0.437927000 0.000975000 0.020999207

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.001000000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436952000 0.437927000 0.000975000 0.020999207

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.000100000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436952000 0.437927000 0.000975000 0.020999207

3 0.436952000 0.437927000 0.437906000 0.000021000 0.025036810

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.000010000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436952000 0.437927000 0.000975000 0.020999207

3 0.436952000 0.437927000 0.437906000 0.000021000 0.025036810

4 0.437927000 0.437906000 0.437906000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.000001000

N X(n-2) X(n-1) X(n) |(X(n)-X(n-1)| |(X(n)-x)/(X(n)-X(n-1))|

2 0.600000000 0.436952000 0.437927000 0.000975000 0.020999207

3 0.436952000 0.437927000 0.437906000 0.000021000 0.025036810

4 0.437927000 0.437906000 0.437906000 0.000000000 X(n)=X(n-1)=X

/------------------------------/

Теоретически метод простых итераций сходится линейно. Для апостериорной оценки сходимости используют следующее соотношение: , т.е. отношение , c=const, что и можно наблюдать в таблице.

Вывод

Как видно из результатов вычислений, задача хорошо обусловлена в случаях, когда требуемая погрешность результата хотя бы на порядок меньше погрешности входных данных. Экспериментальная сходимость метода простых итераций удовлетворяет теореме об апостериорной оценке.