Лабораторные работы 1 - 10 / Лаб раб 9
.docСанкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
Кафедра МО ЭВМ
Вычислительная математика
Отчет
по выполнению лабораторной работы N9
Преподаватель: Щеголева Н.Л.
Студент группы 4351: Усенко А.В.
Санкт-Петербург, 2006
Постановка задачи
В лабораторной работе требуется, используя интерполяционную схему Эйткена либо интерполяционную формулу Ньютона для неравноотстоящих узлов, вычислить значение в точке x функции, заданной таблицей.
Вариант задания – 16.
Функция:
|
X[ 0] = 0.0840 |
Y[ 0] = -5.1177 |
|
X[ 1] = 0.1976 |
Y[ 1] = -4.0530 |
|
X[ 2] = 0.2304 |
Y[ 2] = -3.7719 |
|
X[ 3] = 1.3144 |
Y[ 3] = 0.3633 |
|
X[ 4] = 1.6712 |
Y[ 4] = 0.2933 |
|
X[ 5] = 1.9336 |
Y[ 5] = 0.0661 |
|
X[ 6] = 2.0808 |
Y[ 6] = -0.0803 |
|
X[ 7] = 2.2256 |
Y[ 7] = -0.2141 |
|
X[ 8] = 2.5096 |
Y[ 8] = -0.3773 |
|
X[ 9] = 6.2688 |
Y[ 9] = 73.5201 |
|
X[10] = 6.5072 |
Y[10] = 87.0559 |
Точка вычисления функции: x = 3.9336
Общие сведения
Пусть
известны значения некоторой функции
в n+1
различных точках
,
которые обозначим следующим образом:
.
Указанные
значения могут быть получены путем
экспериментальных измерений или найдены
с помощью достаточно сложных вычислений.
В задаче интерполяции
функции
,
как было сказано ранее, решается проблема
приближенного восстановления значения
функции в произвольной точке x.
Для этого строится алгебраический
многочлен
степени n,
который в точках
принимает заданные значения, т. е.
.
(1.4)
Следует
заметить, что если точка x
расположена вне минимального отрезка,
содержащего все узлы интерполяции
,
то замену функции
на
также называют экстраполяцией.
В общем случае доказано, что существует единственный интерполяционный многочлен n-й степени, удовлетворяющий условиям (1.4),
,
(1.5)
где
.
(1.6)
Интерполяционный многочлен, представленный в виде (1.5), называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а функции (1.6) - лагранжевыми коэффициентами [1]-[4].
Для
оценки погрешности интерполяции (в
частности, и экстраполяции) в текущей
точке
(
- отрезок, содержащий все узлы интерполяции
и точку x)
можно использовать соотношение
,
(1.7)
где
;
-
(n+1)-я
производная интерполируемой функции
в некоторой точке
;
.
Оценить
максимальную погрешность интерполяции
на всем отрезке
можно с помощью соотношения
.
(1.8)
Использование
оценок погрешностей (1.7) и (1.8) предполагает
ограниченность (n+1)-й
производной интерполируемой функции
на отрезке
,
т. е.
.
На практике вместо общей формы записи (1.5) часто используются другие формы записи интерполяционного многочлена, более удобные для применения в конкретных ситуациях [5], [10], [12].
Интерполяционный многочлен Ньютона для неравноотстоящих узлов интерполяции имеет вид
…
…
,
(1.9)
где
- разделенная разность k-го
порядка.
Вычисление разделенных разностей производится по соотношениям
,
...................................................
.
При использовании интерполяционного многочлена Ньютона (1.9) изменение степени n требует только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых, что удобно на практике. В то же время, непосредственное использование интерполяционного многочлена Лагранжа (1.5) требует строить его заново при изменении n.
В
том случае, если требуется найти лишь
численное значение интерполяционного
многочлена
,
а не его представление, может быть
использована итерационно-интерполяционная
схема Эйткена [6], [12].
Пусть
- интерполяционный многочлен, определяемый
парами
,
,
,
... так, что
.
Интерполяционные многочлены возрастающих степеней получают последовательно следующим образом:
,
,
...…..............................................
,
......................................................
.
......................................................
Этот процесс можно закончить, когда у значений двух интерполяционных многочленов последовательных степеней совпадает требуемое количество знаков.
Разработка программы
Программа построена следующим образом.
Точки функции и ее значения заданы в
двумерном массиве. Имеются 3 функции:
Aitken, Newton,
Lagrange, которые
производят интерполяцию по схемам
Эйткена, Ньютона и Лагранжа соответственно.
Функция Aitken на каждом
шаге выводит текущие значения
интерполяционных многочленов
.
Функция Newton на каждом
шаге выводит значения разделенных
разностей. Функция Lagrange
на каждом шаге выводит значения
интерполяционных многочленов
.
Результаты вычислений
********* Aitken **********
Power = 1
Y(0..1) = 30.962134
Y(1..2) = 27.964976
Y(2..3) = 10.354920
Y(3..4) = -0.150557
Y(4..5) = -1.665607
Y(5..6) = -1.923030
Y(6..7) = -1.792349
Y(7..8) = -1.195599
Y(8..9) = 27.615331
Y(9..10) = -59.067149
Power = 2
Y(0..2) = -47.848387
Y(1..3) = -30.945455
Y(2..4) = -16.646663
Y(3..5) = -6.559182
Y(4..6) = -3.087468
Y(5..7) = -1.027950
Y(6..8) = 0.786146
Y(7..9) = 10.975223
Y(8..10) = -3.262159
Power = 3
Y(0..3) = 5.036469
Y(1..4) = 5.306098
Y(2..5) = 5.286144
Y(3..6) = 5.305529
Y(4..7) = 5.317031
Y(5..8) = 5.270993
Y(6..9) = 5.293864
Y(7..10) = 5.295700
Power = 4
Y(0..4) = 5.690427
Y(1..5) = 5.263157
Y(2..6) = 5.324938
Y(3..7) = 5.338592
Y(4..8) = 5.192798
Y(5..9) = 5.281544
Y(6..10) = 5.294632
Power = 5
Y(0..5) = 4.801143
Y(1..6) = 5.385723
Y(2..7) = 5.350280
Y(3..8) = 5.019095
Y(4..9) = 5.236468
Y(5..10) = 5.287268
Power = 6
Y(0..6) = 5.928145
Y(1..7) = 5.320430
Y(2..8) = 4.812176
Y(3..9) = 5.134012
Y(4..10) = 5.260234
Power = 7
Y(0..7) = 4.835756
Y(1..8) = 4.499135
Y(2..9) = 5.009550
Y(3..10) = 5.197677
Power = 8
Y(0..8) = 4.301514
Y(1..9) = 4.813226
Y(2..10) = 5.120542
Power = 9
Y(0..9) = 4.620018
Y(1..10) = 4.995192
Power = 10
Y(0..10) = 4.844870
Function value = 4.844870
********* Newton **********
Power = 1
F(0..1) = 9.372359
F(1..2) = 8.570122
F(2..3) = 3.814760
F(3..4) = -0.196188
F(4..5) = -0.865854
F(5..6) = -0.994565
F(6..7) = -0.924033
F(7..8) = -0.574648
F(8..9) = 19.657746
F(9..10) = 56.777685
Power = 2
F(0..2) = -5.479762
F(1..3) = -4.258025
F(2..4) = -2.783834
F(3..5) = -1.081501
F(4..6) = -0.314237
F(5..7) = 0.241548
F(6..8) = 0.814798
F(7..9) = 5.004055
F(8..10) = 9.285556
Power = 3
F(0..3) = 0.992960
F(1..4) = 1.000401
F(2..5) = 0.999491
F(3..6) = 1.001127
F(4..7) = 1.002499
F(5..8) = 0.995225
F(6..9) = 1.000300
F(7..10) = 0.999977
Power = 4
F(0..4) = 0.004688
F(1..5) = -0.000524
F(2..6) = 0.000884
F(3..7) = 0.001506
F(4..8) = -0.008676
F(5..9) = 0.001171
F(6..10) = -0.000073
Power = 5
F(0..5) = -0.002818
F(1..6) = 0.000748
F(2..7) = 0.000312
F(3..8) = -0.008519
F(4..9) = 0.002142
F(5..10) = -0.000272
Power = 6
F(0..6) = 0.001785
F(1..7) = -0.000215
F(2..8) = -0.003874
F(3..9) = 0.002152
F(4..10) = -0.000499
Power = 7
F(0..7) = -0.000934
F(1..8) = -0.001583
F(2..9) = 0.000998
F(3..10) = -0.000510
Power = 8
F(0..8) = -0.000267
F(1..9) = 0.000425
F(2..10) = -0.000240
Power = 9
F(0..9) = 0.000112
F(1..10) = -0.000105
Power = 10
F(0..10) = -0.000034
Function value = 4.844870
********* Lagrange **********
P( 0) = 179.390399
P( 1) = -1270.769677
P( 2) = 1133.114608
P( 3) = -923.594415
P( 4) = 5657.626418
P( 5) = -19595.700644
P( 6) = 24930.450151
P( 7) = -10998.680963
P( 8) = 889.155167
P( 9) = 0.021545
P(10) = -0.012587
Function value = 4.844870
Вывод
Из полученных результатов видно, что результаты вычислений по схемам Ньютона и Эйткена совпали с результатами вычислений по общей схеме Лагранжа. Схемы Ньютона и Эйткена более удобны, чем схема Лагранжа: при использовании интерполяционного многочлена Ньютона изменение степени n требует только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых, что удобно на практике. А схему Эйткена удобно применять в случаях, когда нам нужен только результат, а не представление интерполяционного многочлена.