Лабораторные работы 1 - 10 / Лаб раб 8
.docСанкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
Кафедра МО ЭВМ
Вычислительная математика
Отчет
по выполнению лабораторной работы N8
Преподаватель: Щеголева Н.Л.
Студент группы 4351: Усенко А.В.
Санкт-Петербург, 2006
Постановка задачи
В лабораторной работе требуется, используя квадратурную формулу Гаусса наивысшего порядка точности, вычислить приближенное значение заданного интеграла.
Интеграл предлагается вычислить по квадратурной формуле Гаусса с восемью узлами:
, ;
,;
,;
,.
Порядок выполнения лабораторной работы.
-
Составить программу-функцию для вычисления интеграла по формуле Гаусса.
-
Составить программу-функцию для вычисления значений подынтегральной функции.
-
Составить головную программу, содержащую обращение к вычислительным процедурам и осуществляющую печать результатов.
-
Результаты работы оформить в виде краткого отчета, содержащего характеристику используемого метода вычислений, его точности и полученное значение интеграла.
Вариант задания – 16. Интеграл
Общие сведения
В квадратурной формуле Гаусса
узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Для приближенного вычисления интеграла по конечному отрезку выполняется замена переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид
,
где ; - узлы квадратурной формулы Гаусса; - гауссовы коэффициенты .
Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов.
Результаты вычислений
x=-0.96028986 a=0.10122854 I=0.09826770
x=-0.79666648 a=0.22238103 I=0.28965773
x=-0.52553242 a=0.31370664 I=0.51212621
x=-0.18343464 a=0.36268378 I=0.71530029
x=0.18343464 a=0.36268378 I=0.87438030
x=0.52553242 a=0.31370664 I=0.98457512
x=0.79666648 a=0.22238103 I=1.05030614
x=0.96028986 a=0.10122854 I=1.07730111
Integral I = 0.53865056
Вывод
Оценив результат, можно сделать вывод, что вычисление интегралов с помощью квадратурных формул Гаусса дает очень высокую точность. Различия в первых восьми знаках не выявлено. При использовании n узлов гарантируется, что формула будет точна для полиномов максимальной степени 2n-1. У нас 8 узлов – следовательно формула точна для полиномов до 15-ой степени включительно. Точность этого метода вычисления интегралов в разы выше, чем для методов прямоугольников, трапеций и Симпсона, где функция интерполировалась полиномами степени не выше 2-ой.