Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
Кафедра МО ЭВМ
Вычислительная математика
Отчет
по выполнению лабораторной работы N5
Преподаватель: Щеголева Н.Л.
Студент группы 4351: Усенко А.В.
Санкт-Петербург, 2006
Постановка задачи
Необходимо исследовать обусловленность
задачи нахождения корня уравнения
для нелинейной функции
(Вариант 16). Значение корня х
вычисляется с помощью метода Ньютона.
Функция вычисляется приближенно, с
точностью Delta, варьируемой в пределах
от 0.1 до 0.000001. Корень уравнения вычисляется
с заданной точностью Eps, варьируемой от
0.1 до 0.000001. Вычисления провести для
различных наборов параметров Delta, Eps.
-
Графически или аналитически отделить корень уравнения
(т.е. найти отрезки [Left, Right], на котором
функция
удовлетворяет условиям сходимости
метода Ньютона). -
Составить подпрограммы - функции вычисления
,
,
предусмотрев округление их значений
с заданной точностью Delta. -
Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения
и содержащую обращение к подпрограммам
,
,
(x),
Round, NEWTON и индикацию результатов. -
Выбрать начальное приближение корня x0 из [Left, Right] так, чтобы
>0. -
Провести вычисления по программе. Исследовать скорость сходимости метода и чувствительность метода к ошибкам в исходных данных.
Общие сведения
В
случае, когда известно хорошее начальное
приближение решения уравнения
,
эффективным методом повышения точности
является метод Ньютона. Он состоит в
построении итерационной последовательности
сходящейся к корню уравнения
.
Достаточные условия сходимости метода
формулируются теоремой, приведенной в
[1,7].
Метод
Ньютона допускает простую геометрическую
интерпретацию (рис. 2). Если через точку
с координатами
провести касательную, то абсцисса точки
пересечения этой касательной с осью Ох
будет очередным приближением xn+1
корня
уравнения
.
Для оценки погрешности n-го приближения корня предлагается пользоваться неравенством
где
М2-наибольшее
значение модуля второй производной
на отрезке [a,b];
m1-наименьшее
значение модуля первой производной
на отрезке [a,b].
Таким образом, если
то
Это означает, что при хорошем начальном
приближении корня после каждой итерации
число верных десятичных знаков в
очередном приближении удваивается,
т.е. процесс сходится очень быстро (имеет
место квадратическая сходимость). Из
указанного следует, что при необходимости
нахождения корня с точностью
итерационный процесс можно прекращать,
когда
(3.1)
Рассмотрим
один шаг итераций. Если на (n-1)-м
шаге очередное приближение xn-1
не
удовлетворяет
условию окончания процесса, то вычисляются
величины
и следующие приближение корня
При выполнении условия (3.1) величина xn
принимается
за приближенное значение корня с,
вычисленное с точностью .
Анализ задачи
По графику функции можно произвести отделение корня.
График функции:
Теоретическое абсолютное число
обусловленности
.
Погрешность вычисления корня определяется
по формуле:
.
Если практическая погрешность вычисления
корня больше или равна теоретический,
то задача хорошо обусловлена, иначе –
плохо обусловлена.
Функция:
Производная:
Вторая производная:
Возьмем начальные границы интервала [0;1]. Для выбора начального приближения корня построим таблицу значений функции и ее производных на отрезке [0;1] и их графики.
Таблица значений:
|
X F(x) F'(x) F''(x)
0.00 -1.000000000 2.000000000 2.000000000 0.01 -0.979900700 2.019798000 1.959408049 0.02 -0.959605400 2.039184300 1.917664761 0.03 -0.939118400 2.058147600 1.874819757 0.04 -0.918443900 2.076677200 1.830923564 0.05 -0.897586300 2.094762800 1.786027476 0.06 -0.876550200 2.112394600 1.740183405 0.07 -0.855340000 2.129563500 1.693443738 0.08 -0.833960500 2.146260700 1.645861201 0.09 -0.812416400 2.162478100 1.597488712 0.10 -0.790712500 2.178208000 1.548379254 0.11 -0.768853900 2.193443400 1.498585743 0.12 -0.746845300 2.208177600 1.448160898 0.13 -0.724692000 2.222404600 1.397157129 0.14 -0.702398900 2.236119000 1.345626415 0.15 -0.679971300 2.249315600 1.293620202 0.16 -0.657414400 2.261990000 1.241189298 0.17 -0.634733300 2.274138100 1.188383782 0.18 -0.611933400 2.285756600 1.135252913 0.19 -0.589019900 2.296842300 1.081845054 0.20 -0.565998300 2.307392700 1.028207598 0.21 -0.542873900 2.317405800 0.974386902 0.22 -0.519652000 2.326880000 0.920428235 0.23 -0.496338100 2.335814100 0.866375722 0.24 -0.472937500 2.344207300 0.812272306 0.25 -0.449455700 2.352059500 0.758159711 0.26 -0.425898100 2.359370600 0.704078415 0.27 -0.402270100 2.366141300 0.650067630 0.28 -0.378577100 2.372372300 0.596165281 0.29 -0.354824500 2.378065100 0.542408008 0.30 -0.331017600 2.383221100 0.488831152 0.31 -0.307161800 2.387842400 0.435468766 0.32 -0.283262500 2.391931300 0.382353618 0.33 -0.259325000 2.395490400 0.329517204 0.34 -0.235354500 2.398522700 0.276989768 0.35 -0.211356300 2.401031300 0.224800317 0.36 -0.187335600 2.403019900 0.172976647 0.37 -0.163297600 2.404492200 0.121545372 0.38 -0.139247400 2.405452200 0.070531949 0.39 -0.115190200 2.405904300 0.019960714 0.40 -0.091131000 2.405853000 -0.030145089 0.41 -0.067074800 2.405303000 -0.079763272 0.42 -0.043026600 2.404259400 -0.128872667 0.43 -0.018991300 2.402727300 -0.177453090 0.44 0.005026300 2.400712200 -0.225485304 0.45 0.029021400 2.398219500 -0.272950983 0.46 0.052989100 2.395255100 -0.319832678 0.47 0.076924900 2.391824800 -0.366113775 0.48 0.100824100 2.387934900 -0.411778467 0.49 0.124682100 2.383591400 -0.456811715 0.50 0.148494400 2.378800800 -0.501199217 0.51 0.172256700 2.373569600 -0.544927375 0.52 0.195964400 2.367904500 -0.587983266 0.53 0.219613300 2.361812200 -0.630354612 0.54 0.243199200 2.355299700 -0.672029753 0.55 0.266717900 2.348374000 -0.712997621 0.56 0.290165300 2.341042100 -0.753247717 0.57 0.313537400 2.333311400 -0.792770088 0.58 0.336830300 2.325189200 -0.831555309 0.59 0.360040000 2.316682800 -0.869594460 0.60 0.383162700 2.307799800 -0.906879112 0.61 0.406194700 2.298547800 -0.943401313 0.62 0.429132400 2.288934400 -0.979153573 0.63 0.451972200 2.278967300 -1.014128850 0.64 0.474710600 2.268654400 -1.048320546 0.65 0.497344200 2.258003500 -1.081722489 0.66 0.519869600 2.247022600 -1.114328937 0.67 0.542283600 2.235719600 -1.146134561 0.68 0.564582900 2.224102600 -1.177134447 0.69 0.586764600 2.212179600 -1.207324091 0.70 0.608825500 2.199958800 -1.236699394 0.71 0.630762800 2.187448400 -1.265256665 0.72 0.652573600 2.174656400 -1.292992614 0.73 0.674255000 2.161591300 -1.319904356 0.74 0.695804500 2.148261100 -1.345989412 0.75 0.717219400 2.134674200 -1.371245706 0.76 0.738497200 2.120839000 -1.395671572 0.77 0.759635400 2.106763600 -1.419265750 0.78 0.780631700 2.092456400 -1.442027393 0.79 0.801483800 2.077925800 -1.463956067 0.80 0.822189500 2.063180100 -1.485051753 0.81 0.842746700 2.048227500 -1.505314849 0.82 0.863153300 2.033076500 -1.524746176 0.83 0.883407600 2.017735400 -1.543346976 0.84 0.903507500 2.002212400 -1.561118913 0.85 0.923451200 1.986515800 -1.578064081 0.86 0.943237200 1.970653800 -1.594184999 0.87 0.962863800 1.954634800 -1.609484615 0.88 0.982329400 1.938466900 -1.623966305 0.89 1.001632700 1.922158200 -1.637633874 0.90 1.020772100 1.905716900 -1.650491558 0.91 1.039746600 1.889151000 -1.662544017 0.92 1.058554800 1.872468700 -1.673796340 0.93 1.077195600 1.855677800 -1.684254037 0.94 1.095668000 1.838786200 -1.693923043 0.95 1.113971000 1.821801900 -1.702809707 0.96 1.132103700 1.804732600 -1.710920794 0.97 1.150065400 1.787586100 -1.718263479 0.98 1.167855200 1.770369900 -1.724845339 0.99 1.185472600 1.753091700 -1.730674351 |
Графики:
Возьмем x0 = 0,9. Для
этого значения выполняется неравенство
>0.