Лабораторная работа 3

Федеральное агенство по образованию РФ

СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

Кафедра МО-ЭВМ

Факультет КТИ

ОТЧЕТ

по лабораторной работе № 3

Метод бисекции.

Дисциплина: вычислительная мпатематика

Студент группы 4351

Кузьменко А.

Преподаватель:

Щеголева Н.Л.

Санкт-Петербург

2006

Лабораторная работа № 3

Метод бисекции.

1. Постановка задачи.

Найти корень уравнения f(x)=0 для функции f(x)=x⁴-13x²+36-1/x методом бисекции с заданной точностью Eps, исследовать зависимость числа итераций от точности Eps при изменении Eps от 0.1 до 0.000001, исследовать обусловленность метода (чувствительность к ошибкам в исходных данных).

2. Теоретические сведения.

Если найден отрезок (a, b), такой, что (a)(b)  , то существует точка c, в которой значение функции равно нулю, т. е. (с) = 0, с  (a, b). Метод бисекции состоит в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, на концах которых функция имеет разные знаки. Каждый последующий отрезок получается делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти нуль функции f(x) (корень уравнения ) с любой заданной точностью.

Если требуется найти корень с точностью , то деление пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда координата середины отрезка и будет значением корня с требуемой точностью

Этот метод сходится для любых непрерывных функций , в том числе недифференцируемых.

3. Текст программ.

double BISECT(double Left,double Right,double Eps,int &N)

{

double E = fabs(Eps)*2.0;

double FLeft = F(Left);

double FRight = F(Right);

double X = (Left+Right)/2.0;

double Y;

if (FLeft*FRight>0.0) {puts("Неверно задан интервал \n");exit(1);}

if (Eps<=0.0) {puts("Неверно задана точность\n");exit(1);}

N=0;

if (FLeft==0.0) return Left;

if (FRight==0.0) return Right;

while ((Right-Left)>=E)

{

X = 0.5*(Right + Left);

Y = F(X);

if (Y == 0.0) return (X);

if (Y*FLeft < 0.0)

Right=X;

else

{ Left=X; FLeft=Y; }

N++;

};

return(X);

}

double Round (double X,double Delta)

{

if(Delta<=1E-9){puts("Неверно задана точность округления\n");exit(1);}

if (X>0.0) return (Delta*(long((X/Delta)+0.5)));

else return (Delta*(long((X/Delta)-0.5)));

}

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include "methods.h"

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

double delta;

void main()

{

int k;

long int s;

float eps1,delta1,a1,b1;

double eps,a,b,x;

printf("введите eps:");

scanf("%f",&eps1);

eps = eps1;

printf("введите a:");

scanf("%f",&a1);

a = a1;

printf("введите b:");

scanf("%f",&b1);

b = b1;

printf("введите delta:");

scanf("%f",&delta1);

delta = delta1;

x = BISECT(a,b,eps,k);

printf("x=%f k=%d\n",x,k);

getch();

}

double F(double x)

{

extern double delta;

double s;

if (x==0) {printf ("Деление на 0!"); getch(); exit(1);}

{ s = (pow(x,4))-(13*(x*x))+36-(1/x);

s = Round( s,delta );

return(s);

}

}

4. Вычислительный эксперимент.

Для вычисления простых корней уравнения необходимо сначала их изолировать, то есть определить интервалы, в которых находятся только по одному корню. Уравнение f(x)=x⁴-13x²+36-1/x имеет 5 корней. График функции:

Таким образом, если изолировать корни уравнения, получим 5 интервалов:

(-3, -2.9), (-2.1, -2), (0.02, 0.03), (1.9, 2), (3, 3.1)

Ниже приведена таблица, в которой отражены результаты работы программы, вычисляющей корни уравнения с определенной точностью методом бисекции. (Здесь x1 – корень из интервала (-3, -2.9), x2 – из (-2.1, -2), x3 – из (0.02 , 0.03). x4 – из (1.9, 2), x5 – из (3, 3.1))

eps	delta	x1	k1	x2	k2	x3	k3	x4	k4	x5	k5
0,1	0,000001	-2,95	0	-2,05	0	0,025	0	1,95	0	3,05	0
0,05	0,000001	-2,95	0	-2,05	0	0,025	0	1,95	0	3,05	0
0,01	0,000001	-2,9875	3	-2,0375	3	0,025	0	1,9875	3	3,0125	3
0,005	0,000001	-2,99375	4	-2,03125	4	0,025	1	1,98125	4	3,00625	4
0,001	0,000001	-2,989062	6	-2,026562	6	0,02875	3	1,976562	6	3,010938	6
0,0005	0,000001	-2,988281	7	-2,025781	7	0,028125	4	1,975781	7	3,010156	7
0,0001	0,000001	-2,988867	9	-2,025195	9	0,027656	6	1,975195	9	3,010742	9
0,00005	0,000001	-2,98877	10	-2,025098	10	0,027734	7	1,975098	10	3,01084	10
0,00001	0,000001	-2,988684	13	-2,025037	13	0,027793	9	1,975012	13	3,010901	13
0,000005	0,000001	-2,988678	14	-2,025043	14	0,027783	10	1,975018	14	3,010907	14
0,000001	0,000001	-2,988673	16	-2,025041	16	0,027784	13	1,97502	16	3,010909	16

Следующая таблица отображает зависимость количества итераций (k) метода бисекций от требуемой точности результата (eps):

eps	delta	a	b	kпракт	kтеор
0,1	0,000001	3	3,1	0	0
0,09	0,000001	3	3,1	0	0,152003093
0,08	0,000001	3	3,1	0	0,321928095
0,07	0,000001	3	3,1	0	0,514573173
0,06	0,000001	3	3,1	0	0,736965594
0,05	0,000001	3	3,1	0	1
0,04	0,000001	3	3,1	1	1,321928095
0,03	0,000001	3	3,1	1	1,736965594
0,02	0,000001	3	3,1	2	2,321928095
0,01	0,000001	3	3,1	3	3,321928095
0,009	0,000001	3	3,1	3	3,473931188
0,008	0,000001	3	3,1	3	3,64385619
0,007	0,000001	3	3,1	3	3,836501268
0,006	0,000001	3	3,1	4	4,058893689
0,005	0,000001	3	3,1	4	4,321928095
0,004	0,000001	3	3,1	4	4,64385619
0,003	0,000001	3	3,1	5	5,058893689
0,002	0,000001	3	3,1	5	5,64385619
0,001	0,000001	3	3,1	6	6,64385619
0,0009	0,000001	3	3,1	6	6,795859283
0,0008	0,000001	3	3,1	6	6,965784285
0,0007	0,000001	3	3,1	7	7,158429363
0,0006	0,000001	3	3,1	7	7,380821784
0,0005	0,000001	3	3,1	7	7,64385619
0,0004	0,000001	3	3,1	7	7,965784285
0,0003	0,000001	3	3,1	8	8,380821784
0,0002	0,000001	3	3,1	8	8,965784285
0,0001	0,000001	3	3,1	9	9,965784285
0,00009	0,000001	3	3,1	10	10,11778738
0,00008	0,000001	3	3,1	10	10,28771238
0,00007	0,000001	3	3,1	10	10,48035746
0,00006	0,000001	3	3,1	10	10,70274988
0,00005	0,000001	3	3,1	10	10,96578428
0,00004	0,000001	3	3,1	11	11,28771238
0,00003	0,000001	3	3,1	11	11,70274988
0,00002	0,000001	3	3,1	12	12,28771238
0,00001	0,000001	3	3,1	13	13,28771238
0,000009	0,000001	3	3,1	13	13,43971547
0,000008	0,000001	3	3,1	13	13,60964047
0,000007	0,000001	3	3,1	13	13,80228555
0,000006	0,000001	3	3,1	14	14,02467797
0,000005	0,000001	3	3,1	14	14,28771238
0,000004	0,000001	3	3,1	14	14,60964047
0,000003	0,000001	3	3,1	15	15,02467797
0,000002	0,000001	3	3,1	15	15,60964047
0,000001	0,000001	3	3,1	16	16,60964047

Также количество итераций зависит от длины интервала, локализующего корень:

eps	delta	a1	b1	|b1-a1|	k1
0,00001	0,000001	3	3,011	0,011	10
0,00001	0,000001	3	3,02	0,02	10
0,00001	0,000001	3	3,05	0,05	12
0,00001	0,000001	3	3,08	0,08	12
0,00001	0,000001	3	3,1	0,1	13
0,00001	0,000001	2,9	3,1	0,2	14
0,00001	0,000001	2,7	3,2	0,5	15
0,00001	0,000001	2,5	3,2	0,7	16
0,00001	0,000001	2,5	3,8	1,3	16
0,00001	0,000001	2,7	4,3	1,6	17
0,00001	0,000001	2,8	4,7	1,9	17
0,00001	0,000001	2,9	5,1	2,2	17
0,00001	0,000001	3	6	3	18
0,00001	0,000001	2,8	7	4,2	18
0,00001	0,000001	2,9	8,5	5,6	19
0,00001	0,000001	3	10	7	19

Следующая таблица содержит результаты нахождения корня уравнения в рамках исследования чувствительности метода к ошибкам во входных данных.

Рассматриваются интервалы разной длины, содержащие корень 1.975021. Так как известна функция, то можно вычислить число обусловленности задачи нахождения простого корня этой функции (1/|f (x₀)|, где x₀ - корень). Для данных функции и корня _=0,04931. В столбце “теоретически” вычисляется отношение eps/delta и выводится “да”, если _ меньше его и “нет” в обратном случае. В столбце “практически” вычисляется разность найденного значения x и эталона (значения корня с наименьшей погрешностью) и выводится “да”, если это значения меньше заданной точности результата (eps)