3.2. Уравнение неразрывности (расхода) жидкости

Основные уравнения газовой динамики мы выведем для элементарной (единичной) струйки газа, поперечные размеры которой настолько малы, что в каждом ее сечении можно считать постоянными все основные параметры потока: скорость, давление, температуру и плотность газа.

Будем рассматривать стационарное (установившееся) движение газа в элементарной струйке (рис. 3.3.), при котором в любой фиксированной точке пространства сохраняются неизменными по времени скорость движения, давления, плотность и температура. Траектории частиц называются линиями тока. Боковая поверхность струйки является непроницаемой для жидкости или газа, так как векторы скорости движения касательны к ней. За бесконечно малый промежуток времени часть струйки 1  2 переместится в новое положение 1'  2'.

Рис. 3.3. Элементарная струйка

Приток газа в объем 1'  2 составит

где: ₁  плотность в сечении 1;F₁  площадь в сечении 1;

Расстояние dl₁  между сечениями 1 и 1' равно

где w₁  скорость в сечении 1; d  элементарный промежуток времени.

В объем 1'  2 поступает расход газа

Расход газа из объема 1'  2 равен

При установившемся режиме течения приход газа равняется расходу

dМ₁=dМ₂=dМ.

Массовый расход газа в сечении 1 равен М₁=dМ₁/d.

Соответственно в сечении 2: М₂=dМ₂/d.

Так как М₂=М₁ окончательно получим уравнение расхода

для несжимаемой жидкости, т.е. при =const, уравнение расхода примет вид

(3.12)

Из уравнения (3.12.) следует, что там, где площадь струйки больше, скорость меньше и наоборот. В местах сгущения линий тока скорость растет.е.сли линии тока раздвигаются, то скорость падает. В газе картина линий тока однозначно определяет изменение плотности тока.

который представляет собой массовый расход через единицу площади. В местах сгущения линий тока плотность тока увеличивается. Уравнение постоянства расхода можно представить также в дифференциальной форме

Разделив все члены этого соотношения на wF, получим

(3.13)

Уравнение расхода можно использовать не для единичной струйки, а для трубопровода в целом. В этом случае под единичной струйкой понимается весь поток газа. В этом случае в каждом поперечном сечении считаются постоянными и равными средним значениям скорость, плотность, давление и температура.

3.3. Уравнение энергии

Следуя закону сохранения энергии, составим баланс энергии для массы газа, заполняющей сначала объем 1  2, а через время d объем 1'  2' (рис. 3.3). Так как заштрихованный объем 1'  2 y них общий, то приращение любого вида энергии равно разности энергии этого вида в бесконечно малых объемах 2  2' и 1  1'.

Приращение кинетической энергии

здесь и далее dM  массовый расход газа через поперечное сечение за время d.

Приращение потенциальной энергии

где Z₂ и Z₁ – высоты расположения сечений 1и 2, g – ускорение силы тяжести.

Приращение внутренней (тепловой) энергии

где u=С_T  внутренняя энергия единицы массы газа, равная произведению теплоемкости при постоянном давлении С_ на абсолютную температуру. Если С_=const, то

При перемещении выделенного нами объема из состояния 1  2 в состояние 1'  2' внешние силы совершают работу. Перенос газа из сечения 1 в 1' происходит как бы под действием поршня площадью F₁ c давлением Р₁.

Работа поршня за время d равна

Здесь использованы следующие соотношения

F₁w₁V₁  объем, который вытесняет поршень за 1 с; м³/c;

₁V₁/M  удельный объем м³/кг;

М  массовый расход, кг/c;

₁1/₁ плотность кг/м³;

dМ  масса, которую вытесняет поршень за время d

Аналогично для сечения 2. За время d газ переместит поршень в положение 2', произведя над внешней средой работу, которую будем считать отрицательной,

Таким образом, энергия, внесенная силами давления, равна разности между работами поршня 1 и 2:

К газовой струйке на участке 1  2 за время d может быть подведено тепло в количестве dQ. Газовая струйка может произвести техническую работу dL, например, вращая колесо турбины, установленное между сечениями 1 и 2. Следует также учесть энергию, расходуемую на преодоление сил трения dL_тр. Согласно первому закону термодинамики, подведенные к газу тепловая энергия dQ и работа сил давления расходуются на совершение технической работы dL, работы сил трения dL_тр, а также на повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии:

Разделив все члены полученного выражения на dМ, получим уравнение энергии, записанное для 1 кг массы газа

где q  тепло, подводимое к 1 кг газа; dL  работа, совершаемая 1 кг газа; dL_тр  работа по преодолению сил трения, приходящаяся на 1 кг газа.

Здесь и далее принято, что технической работе, совершаемой газом, например, в колесе турбины, присваивается знак плюс. Работе, совершаемой над газом, например, в ступени компрессора, присваивается знак минус.

Приток тепла q осуществляется двумя способами: извне (q_нар)  за счет теплообмена через боковую поверхность струйки или за счет выделения тепла в самой струйке в результате сгорания топлива и изнутри (q_тр)  за счет преобразования в тепло работы трения L_тр:

(3.14)

Очевидно, что

(3.15)

Согласно уравнению состояния газа PVRT или P/RT, т.к. V1/.

В термодинамике широко используется энтальпия i, которая является функцией состояния газа

i=С_р Т,

где С_р  теплоемкость при постоянном давлении Дж/кгК, Т  абсолютная температура, К.

Энтальпия связана с внутренней энергией соотношением

(3.16)

В дифференциальной форме

Используя выражения (3.14 3.15), можно уравнению энергии придать следующую форму

(3.17)

Из уравнения (3.17) следует, что тепло, подводимое извне к потоку газа, тратится на совершение технической работы L, увеличение потенциальной энергии g(Z₂–Z₁), увеличение кинетической энергии (w₂²w₁²)/2 и увеличение энтальпии i₂i₁.

В газовой динамике обычно измерение потенциальной энергии не учитывают, т.к. член g(Z₂–Z₁) пренебрежимо мал по сравнению с другими членами уравнения. Итак, окончательно уравнение энергии имеет вид

(3.18)