Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 1
Изобразить область, заданную неравенствами:
Вариант
|
Область
|
Вариант |
Область |
1
|
|
2 |
|
3
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
ЗАДАНИЕ 2
Найдите область определения функции
Вариант |
Функция |
Вариант
|
Функция |
1
|
|
2 |
|
3
|
|
4 |
|
5
|
|
6 |
|
7
|
|
8 |
|
9
|
|
10 |
|
ЗАДАНИЕ 3
Найдите пределы и.
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, .
ЗАДАНИЕ 4
Найдите для функциии значение частной производной в указанной точке (M):
2)
3) 4)
5)6)
7)8)
9)10).
ЗАДАНИЕ 5
Найдите частные производные функции . В ответе приведите значения частных производных ,,для данной функциив точкес точностью до двух знаков после запятой:
1. ; 2.;
3. ; 4.;
5. ; 6.;
7.; 8.;
9. ; 10..
ЗАДАНИЕ 6
Найдите все частные производные второго порядка функции . Найдите значения указанной частной производной в указанной точке:
10).
ЗАДАНИЕ 7
Найти все частные производные второго порядка следующих функций.
Доказать, что :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4); |
5) ; |
6) ; |
7) ; |
8) ; |
9) ; |
10) . |
ЗАДАНИЕ 8
Найти все частные производные второго порядка следующих функций. Доказать, что :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) ; |
7) ; |
8) ; |
9) ; |
10) . |
ЗАДАНИЕ 9
Докажите, что функция удовлетворяет условию
1)
2)
3)4)
5) 6)
7) 8)
9) 10).
ЗАДАНИЕ 10
Дана функция Проверить, удовлетворяет ли она данному уравнению.
№ |
Уравнение | |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 |
ЗАДАНИЕ 11
Дана функция . Показать, что .
1) ; ;
2) ; ;
3) ; ;
4) ; ;
5) ;
6) ; ;
7) ; ;
8) ; ;
9) ; ;
10); .
ЗАДАНИЕ 12
Найдите du и для функции :
1); 2);
3); 4);
5); 6);
7); 8);
9); 10).
ЗАДАНИЕ 13
Составьте уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением f(x; y; z)=0 в указанной точке :
1);
2);
3);
4);
5);
6);
7);
8);
9);
10).
ЗАДАНИЕ 14
Дана функция и точка M0(x0;y0). С помощью дифференциала вычислить приближенное значение функции в данной точке. Оценить абсолютную погрешность вычислений:
1) ;M0(1,08;1,94);
2) ; M0(3,04;3,95);
3) ; M0(2,98;2)05);
4) ; M0(1,06;2,92);
5) ; M0(2,94;1,07);
6) ; M0(1,96;1,04);
7) ; M0(0,96;1,95);
8) ; M0(3,96;1,03);
9) ; M0(0,97;2,03);
10) ; M0(2,98;3,91).
ЗАДАНИЕ 15
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдитедля заданных функций .
1) ;
2) ;
;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
ЗАДАНИЕ 16
Вычислить производные сложных функций:
1) где
2) где
3) , где,
4) , где;
5) где
6) где;
7) где;
8) где,
9) где,;
10) где;
ЗАДАНИЕ 17
Найдитедля функции, заданной неявно:
1) ; 2);
3) ; 4);
5) ; 6);
7) ; 8);
9) ; 10).
ЗАДАНИЕ 18
Найдите для функции, заданной неявно указанным уравнением:
1) ; 2);
3) ; 4);
5) ; 6);
7) ; 8);
9) ; 10).
ЗАДАНИЕ 19
Продифференцировать: а) сложную функцию; б) функцию заданную неявно:
1. а) ,где ;
б) .
2. а) ,где ;
б) .
3. а) ,где ;
б) .
4. а) ,где ;
б) .
5. а) ,где ;
б) .
6. а) ,где ;
б) .
7. а) ,где ;
б) .
8. а) ,где ;
б) .
9. а) ,где ;
б) .
10. а) ,где ;
б) .
ЗАДАНИЕ 20*
Найдите якобиан заданной системы функций:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10).
ЗАДАНИЕ 21*
Функции независимых переменныхx и y заданы неявно системой уравнений. Найдите ,:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10).
ЗАДАНИЕ 22*
В декартовой прямоугольной системе координат Оxy область (D) задана системой неравенств. Найдите область (G) в системе координат O'uv, в которую перейдет (D) в результате преобразования координат
№ п/п |
Неравенства, задающие область (D) |
Уравнения преобразования координат |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 |
ЗАДАНИЕ 23
В декартовой прямоугольной системе координат Оxy область (D) задана системой неравенств. Найдите область (G) в системе координат O'uv , в которую перейдет (D) в результате преобразования координат
№ п/п |
Неравенства, задающие область (D) |
Уравнения преобразования координат |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 |
ЗАДАНИЕ 24
Найдите ив точке:
1); 2);
3) ;4) ;
5) ;6) ;
7) ; 8);
9) ; 10).
ЗАДАНИЕ 25
Дана функция , точкаA(x0,y0) и вектор . Найдите
1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора :
1) ; ; ;
2) ; ; ;
3) ; ; ;
4) ; ; ;
5) ; ; ;
6) ; ; ;
7) ; ; ;
8) ; ; ;
9) ; ; ;
10) ; ; .
ЗАДАНИЕ 26
Дана функция . Найти в точкепроизводную по направлению, градиент функции и его модуль:
1) ,,;
2) ,,;
3) ,,;
4) ,,;
5) ,,;
6) ,,;
7) ,,;
8) ,,;
9) ,,;
10) ,,.
ЗАДАНИЕ 27
Даны функция трех переменных u = f (x, y, z), точка M0 (x0; y0; z0) и вектор
(а1, а2, а3) . Найдите 1) grad u в точке М0; 2) производную в точке М0 по направлению вектора :
1) M0 (1; -2; 1) ; (-1; 2; 2) ;
2) u = ln|3x2 – 2y + z| ; M0 (1; 1; 0) ; (0; 4; 3) ;
3) M0 (1; 1; 2) ; (-3; 0; 4) ;
4) M0 (1; 2; 2) ; (3; 0; -4) ;
5) M0 (2; 2; 1) ; (1; -2; 2) ;
6) u = ln|10 – x2 – y2 – z2| ; M0 (2; 2; 1) ; (-4; 0; 3);
7) M0 (3; 4; 0) ; (2; -1; 2) ;
8) u = x2y2 + x2z2 + y2z2 ; M0 (-1; 2; 1) ; (0; 6; 8);
9) M0 (3; 4; 0) ; (2; 2; -1) ;
10) u = ln|12 – x2 – y2 + z| ; M0 (1; 1; -5) ; (3; 0; -4) .