Глава 1.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЗАДАНИЕ 1

Пусть - матрица,. Найдите матрицу, если ее элементы определяются с помощью соотношения:

1); 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10).

ЗАДАНИЕ 2

Пусть - матрица,. Найдите матрицу, если ее элементы определяются с помощью соотношения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

ЗАДАНИЕ 3

1.Пусть матрицы размера 7x7. Верно ли следующее утверждение?

2. Пусть матрицы размера 7x7. Верно ли следующее утверждение?

(C + B)² = C² +2CB + B²

3. Пусть матрицы размера 8x8. Верно ли следующее утверждение?

4. Пусть матрицы размера 7x7. Верно ли следующее утверждение?

5. Пусть матрицы размера 8x8. Верно ли следующее утверждение?

6. Пусть матрицы размера 4x4. Верно ли следующее утверждение?

CA² = (CA) A

7. Пусть матрицы размера 8x8. Верно ли следующее утверждение?

B² A = (BA) B

8. Пусть матрицы размера 3x3. Верно ли следующее утверждение?

B² C = B(CB)

9. Пусть матрицы размера 5x5. Верно ли следующее утверждение?

C² A = C(AC)

10. Пусть матрицы размера 10x10. Верно ли следующее утверждение?

Задание 4

1.Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений не всегда верны?

.

2. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений всегда верны?

.

3. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений всегда верны?

.

4. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений всегда верны?

.

5. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений не всегда верны?

.

6. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений всегда верны?

.

7. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений не всегда верны?

.

8. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений всегда верны?

.

9. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений не всегда верны?

.

10. Пусть матрицы размераидва числа. Какие из приведенных соотношений всегда верны?

.

ЗАДАНИЕ 5

Найдите симметричную матрицу и антисимметричную матрицутакие, что:

1); 2); 3); 4);

5) ; 6); 7); 8);

9) ; 10).

ЗАДАНИЕ 6

Найдите симметричную матрицу и антисимметричную матрицутакие, что:

1) ; 2); 3);

4); 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) .

ЗАДАНИЕ 7

Даны матрицы . В каком порядке следует перемножить матрицы, чтобы существовало их произведение? Найдите размеры полученной матрицы:

1) ; 2); 3);4) ;

5) ; 6); 7); 8);

9) ; 10).

ЗАДАНИЕ 8

Укажите размеры матриц и, если выполнено данное условие:

1) ;2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10).

ЗАДАНИЕ 9

Дано произведение матриц . Какой из элементов матрицыможно найти? Чему он равен? Здесьнеизвестные элементы:

1.;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

ЗАДАНИЕ 10

Найдите указанные элементы матрицы С:

1) ,;

2) ,;

3) ,;

4) ,;

5) ,;

6) ,;

7) ,;

8) ,;

9) ,;

10) ,.

ЗАДАНИЕ 11

Найдите

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ЗАДАНИЕ 12

Дана матрица . Найдите:

1) ; 2) ;3) ;4) ;

5) ;6) ;7) ;8) ;

9) ;10) .

ЗАДАНИЕ 13

Выполните действия с матрицами:

1) 3A-(A+2B)B, где ,	6) , где ,
2) 2(A-B)(A2+B), где ,	7) (A-B)A+3B, где ,
3) (A2-B2)(A+B), где ,	8) 2A-(A2+B)B, где ,
4) (A-B2)(2A+B), где ,	9) 3(A2-B2)-2AB, где ,
5) , где ,	10) (2A-B)(3A+B)-2AB, где ,

ЗАДАНИЕ 14

Даны матрицы и числа иНайдите:a) б) ранг матрицы _:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

ЗАДАНИЕ 15

Даны матрицы A, B, C. Найти матрицу D по указанным соотношениям:

1)_{, где} ,,

2) _{, где} ,,;

3) _{, где} ,,;

4)  _{, где} ,,;

5) _{, где} ,,;

6)  _{, где} ,,;

7)  _{, где} ,,;

8)  _{, где} ,,;

9) _{, где} ,,;

10) _{, где} ,,.

ЗАДАНИЕ 16

Найдите параметры иматрицы:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10).

ЗАДАНИЕ 17

Существует ли диагональная матрица , для которой справедливо соотношение:

1.; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

ЗАДАНИЕ 18

Вычислите детерминант матрицы :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

ЗАДАНИЕ 19

Найдите определитель и след данной матрицы:

1); 2); 3); 4);

5) ; 6); 7); 8);

9); 10).

ЗАДАНИЕ 20

Решите уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

ЗАДАНИЕ 21

Найдите параметры иматрицы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

ЗАДАНИЕ 22

Вычислите : а) разложением по некоторой строке или столбцу; б) путем приведения к треугольному виду:

1)=; 2) =;

3) =; 4) =;

5) =; 6) =

7) =; 8) =;

9) =; 10) =.

ЗАДАНИЕ 23

1.Даны матрицы и. укажите все неверные утверждения.

2. Даны матрицы и.Укажите все верные утверждения.

3. Даны матрицы и.Укажите все не верные утверждения.

4. Даны матрицы и.Укажите все верные утверждения.

5. Даны матрицы и.Укажите все верные утверждения.

6. Даны матрицы и.Укажите все не верные утверждения.

матрица имеет обратную

7. Даны матрицы и.Укажите все верные утверждения.

8. Даны матрицы и.Укажите все верные утверждения.

9. Даны матрицы и.Укажите все не верные утверждения.

10) Даны матрицы и.Укажите все не верные утверждения.

ЗАДАНИЕ 24

1. Пусть идве 5x5 матрицы. Какие из данных условий не всегда верны?

1.		A обратима
2.		det(A+I5) = det(A) + 1
3.		det(A) = 1 A = I5

2. Пусть две 9x9 матрицы. Какие из данных условий всегда верны?

1.
2.		det(A) = 1 A = I9
3.		det(A) = 0 A не обратима

3. Пусть две 5x5 матрицы. Какие из данных условий всегда верны?

1.		det(A) = 0 A не обратима
2.		det(AB) = det(A) + det(B)
3.

4. Пусть две 8x8 матрицы. Какие из данных условий всегда верны?

1.		det(A) = 0 A = 0
2.		det(A) = 1 A = I8
3.		det(AB) = det(BA)

5. Пусть две 6x6 матрицы. Какие из данных условий всегда верны?

1.
2.		det(A-1) = -det(A)
3.		det(AB) = det(B) det(A)

6. Пусть две 9x9 матрицы. Какие из данных условий не всегда верны?

1.		обратима
2.		det(AB)=1 B=A-1
3.		det(AB) = det(A) det(B)

7. Пусть две 4x4 матрицы. Какие из данных условий всегда верны?

1.		det(A5) = det(A)5
2.		det(A5) = 5det(A)
3.		det(AB) = det(BA)

8. Пусть две 4x4 матрицы. Какие из данных условий не всегда верны?

1.		det(A) = 0 A = 0
2.		det(A2) = 2det(A)
3.		det(AB)=0 det(A)=0 или det(B)=0

9. Пусть две 4x4 матрицы. Какие из данных условий не всегда верны?

1.		det(A) = 0 A = 0
2.		det(A2) = 2det(A)
3.		det(AB)=0 det(A)=0 или det(B)=0

10. Пусть две 5x5 матрицы. Какие из данных условий всегда верны?

1.		det(AB)=1 B=A-1
2.		det(A) = 0 A не обратима
3.		det(A) = 1 A = I5