Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток через площадку s):

для однородного магнитного поля ,

где  - угол между вектором и нормалью к площадке,

для неоднородного поля .

Потокосцепление (полный поток):

где N – число витков катушки.

Закон Фарадея-Ленца: ,

где – ЭДС индукции.

ЭДС самоиндукции: ,

где L – индуктивность контура.

Индуктивность соленоида:

где n – число витков на единицу длины соленоида, ,

V – объем соленоида.

Энергия магнитного поля: .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при

изменении магнитного потока через контур:

где – изменение магнитного потока,

R – сопротивление контура.

Работа по перемещению замкнутого контура

с током I в магнитном поле:

7.2.3. Примеры решения задач по электричеству и магнетизму

Задача 1. Два равных отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.

Д

ано:

Найти: Е, . Рис. 3

Решение: Напряженность поля в точке А (рис. 3) по принципу суперпозиции равна:

По теореме косинусов:

.

Напряженность поля точечного заряда:

По условию , следовательно, . Тогда:

.

Но поэтому:

и результирующая напряженность равна:

.

Обозначим АВ = h. Тогда .

По теореме Пифагора:

.

.

Потенциал  результирующего поля в точке А равен:

.

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, равен:

.

Но по условию . Тогда , следовательно:

.

Проверка размерности:

;

Ответ: Е = 480 В/м;  = -40 В.

З

адача 2. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30 к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Индукция магнитного поля равна В = . Найти радиус витка и шаг спирали.

Дано:

Найти: R, h. Рис. 4

Решение: Скорость электрона найдем из условия, что работа сил электрического поля затрачивается на изменение кинетической энергии электрона: А = W. Работа в электрическом поле равна произведению заряда на разность потенциалов: А = qU. Начальная кинетическая энергия равна нулю, поэтому W = W. Следовательно:

отсюда . (1)

Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, на две составляющие: - составляющая скорости, направленная вдоль силовых линий поля и – составляющая скорости, направленная перпендикулярно силовым линиям поля. Из рис. 4:

.

Проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к , представляет собой окружность, следовательно, сила Лоренца сообщает частице нормальное (центростремительное) ускорение. Сила Лоренца равна:

.

Центростремительное ускорение:

где R – радиус окружности.

По второму закону Ньютона: F = ma.

Тогда:

Отсюда:

(2)

Период обращения равен:

Так как скорость частицы имеет составляющую , то траектория частицы представляет собой винтовую линию.

Шаг винтовой линии равен:

(3)

Проверка размерности расчетных формул (2) и (3).

Размерность произведения [q][B] найдем из выражения для силы Лоренца:

.

По второму закону Ньютона: F = ma, т.е.

.

Тогда: .

Следовательно, .

Подставим численные значения в (1), (2) и (3).

;

;

.

Ответ: R = 1 см, h = 11 см.

Задача 3. Проволочное кольцо радиусом 10 см лежит на столе. Какой заряд потечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую. Сопротивление кольца 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 50 мТл.

Дано:

Найти: q

Решение: По определению сила тока равна производной от заряда по времени:

Отсюда заряд, который потечет по проводнику, определяется равенством:

(1)

По закону Ома для замкнутой цепи сила тока равна:

(2)

где  - ЭДС источника, R – сопротивление цепи.

Ток в кольце появляется благодаря ЭДС индукции. Поэтому . ЭДС индукции найдем по закону Фарадея-Ленца:

, (3)

где – скорость изменения магнитного потока.

Подставим (3) в (2):

. (4)

Подставим (4) в (1):

(5)

Проинтегрируем (5), получим:

где – магнитный поток, пронизывающий кольцо после поворота на угол180;

– магнитный поток до поворота.

и вычисляются по формулам:

где В – индукция магнитного поля,

– площадь кольца,

 – угол между нормалью к площади кольца и линиями индукции.

Тогда:

Проверка размерности:

.

Так как .

Размерность индуктивности найдем из закона .

.

По закону Ома: .

Тогда:

.

Вычислим q. Учтем, что до поворота нормаль к площади кольца параллельна вектору . Поэтому ₁ = 0. После поворота нормаль противоположно направлена вектору . Поэтому ₂ = 180^о. Тогда:

.

Ответ: q = 3,14 мКл.