Тема 7. Генерування випадкових подій і дискретно розподілених випадкових величин

7.1. Методичні поради до вивчення теми

Зміст теми. У темі розкривається необхідність імітації випадкових подій. Показується, що для цієї задачі може використовуватися схема випробувань за «жеребкуванням» (СВЖ), заснована на машинному моделюванні несумісних у сукупності подій, що утворюють повну групу. Запропоновано схему алгоритму цього моделювання. Перший спосіб використання СВЖ для імітації незалежних та залежних подій. Другий спосіб використання СВЖ для імітації незалежних та залежних подій. Розглядається стандартний метод імітації дискретно розподілених випадкових величин. Запропоновано схему спрощеного моделювання для деяких дискретних розподілів, зокрема біноміального, Пуассона, геометричного, для яких імовірності розподілів пов’язані рекурентним співвідношенням. Розглядаються спеціальні методи імітації деяких дискретних розподілів: рівномірний дискретний розподіл; геометричний розподіл; розподіл Пуассона.

Пояснення до теми. У загальному випадку під час імітаційного моделювання часто виникає потреба імітувати випадкові події, які можуть мати різне призначення. Випадкові події імітуються згідно зі схемою випробувань за «жеребкуванням», сутність якої полягає у такому. Нехай у результаті спроби може настати одна з n несумісних у сукупності подій що утворюють повну групу, причому де — ймовірність появи події . Якщо є генератор випадкових чисел РВП [0, 1], то схему випробувань за «жеребкуванням» можна подати так.

1. Розбиваємо відрізок [0, 1] на n частин завдовжки Координати точок поділу відрізка

2. Обираємо — наступне число із РВП [0, 1]. У разі, коли , вважаємо, що відбулася подія . Справді, за такої схеми

Стандартний алгоритм визначення індексу k, з допомогою якого обирається випадкова подія , реалізується згідно із схемою, зображеною на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Схема алгоритму вибору індексу k

Розглянемо імітацію рівноймовірних подій, що утворюють повну групу: Відношення у такому разі має вигляд або Індекс події, що настає, визначається співвідношенням k = [n] + 1, де [...] — ціла частина числа. Виконується нерівність

Існують два способи застосування схеми випробувань за «жеребку­ванням», що дають змогу моделювати довільні випадкові події. Сутність цих способів пояснимо на прикладах.

Приклад 1. Вивчається робота цеху, до складу якого належать три конвеєрні лінії. Імовірність безперебійної роботи першої лінії в довільний момент часу становить 0,7, другої — 0,9, третьої — 0,6.

Скласти схему імітації стану виробничого процесу.

Введемо позначення для випадкових подій, що в довільний момент часу t імітують роботу цеху:

— безперебійно працює перший конвеєр;

— безперебійно працює другий конвеєр;

— безперебійно працює третій конвеєр.

Перший спосіб використання схеми випробувань за «жеребку­ванням» полягає в такому. Генеруємо випадкові числа РВП [0, 1] Поточний стан цеху імітується умовами:

— перший конвеєр працює; — не працює;

— другий конвеєр працює; — не працює;

— третій конвеєр працює; — не працює.

Описаний щойно спосіб зручний з погляду простоти обчислень, проте він потребує багато випадкових чисел. Економнішим за критерієм раціонального використання запасу чисел датчика РВП [0, 1] є другий спосіб. Він, проте, потребує виконання значних попередніх перетворень. Сутність способу полягає ось у чому.

Формуємо повну групу подій:

Обчислюємо ймовірності цих подій за правилом: імовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку їх імовірностей. Маємо:

Поділяємо відрізок [0, 1] на вісім частин. Координати точок поділу:

Обираємо наступне випадкове число, наприклад = 0,85828. Оскільки , то імітується подія тобто в дослід­жуваний момент часу перший конвеєр не працює, а решта працюють.

Приклад 2. Скласти схему імітації залежних подій A і B, для яких відомі такі значення ймовірностей:

Згідно з першим способом застосування схеми випробувань за «жеребкуванням» необхідно знайти умовні ймовірності і . За формулою ймовірностей добутку подій або

Запишемо формулу повної ймовірності . Звідси

Генеруємо випадкові числа і за допомогою датчика РВП [0, 1]. Обираємо таку схему імітації:

1) якщо , то настала подія А, при цьому

у разі — настала подія В,

у разі — не настала подія B;

2) якщо , то подія А не настала, при цьому

у разі — настала подія В,

у разі — не настала подія В.

При другому способі використання схеми випробувань за «жереб­ку­ванням» утворюємо повну групу подій:

Знаходимо відповідні ймовірності:

Після цього виконуємо звичайну процедуру моделювання подій, що утворюють повну групу.

За допомогою схеми випробувань за «жеребкуванням» можна моделювати дискретні випадкові величини. Нехай, наприклад, ряд розподілу дискретної випадкової величини Х має такий вигляд:

. Можливі значення			...	xn
Імовірності			...

Звідси можна дістати повну групу подій:

, , ..., .

Чергова реалізація випадкової величини імітується за схемою, зображеною на рис. 7.1.

Слід підкреслити, що в практичних застосуваннях дуже поширена дискретна випадкова величина, яка набуває лише невід’ємних значень 0, 1, 2,..., k,... з імовірностями .

Для таких випадкових величин імовірності пов’язані рекурент­ним співвідношенням

(7.1)

де — деяка функція від значення індексу k. У такому разі значення і у пам’ять ЕОМ можна не записувати, імітуючи їх за схемою, зображеною на рис. 7.2. Проблема полягає у визначенні функції . Розглянемо деякі приклади.

Приклад 3. Для біноміального розподілу (розподілу Бернуллі) з параметрами p і n

Тоді

Рис. 7.2. Схема імітації дискретних випадкових величин

Приклад 4. Для розподілу Пуассона з параметром 

Приклад 5. Для геометричного розподілу з параметром p

Загальний підхід імітації дискретно розподілених величин у деяких випадках може бути замінений спеціальними методами імітації, котрі ураховують специфічні особливості розподілів. Покажемо цю можливість для трьох розподілів.

Рівномірний дискретний розподіл має такий вигляд:

де k = 0, 1, 2,....

Для імітування цієї випадкової величини досить здійснити перетворення .

Геометричний розподіл імітується з допомогою перетворення

Справді, випадкова величина

має геометричний розподіл. Це підтверджують такі міркування.

Цей метод імітації геометрично розподілених випадкових величин є найефективнішим.

Для імітації випадкових величин, що мають розподіл Пуассона, найчастіше застосовується метод Тотчера.

Цей метод грунтується на твердженні, що випадкова величина X, яка визначається відношенням

розподілена за законом Пуассона з параметром .

Для генерування випадкової величини Х генеруємо РСП [0, 1] доти, доки не буде виконуватися нерівність

У більшості випадків для генерування розподілу Пуассона якраз і застосовується цей метод.