3. Математический анализ

1. Множество вещественных чисел. Функция, область определения, сложные, неявные, обратные функции. Основные элементарные функции.

2. Предел числовой последовательности. Свойства пределов.

3. Предел функции. Бесконечно малые. Свойства пределов. Сравнение бесконечно малых. Замечательные пределы. О – символика.

4. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

5. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

6. Формула Тейлора

7. Монотонность, экстремумы функции. Выпуклость, перегибы. Асимптоты, общая схема исследования.

8. Касательная к кривой. Кривизна. Особые точки кривых.

9. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства

10. Методы интегрирования.

11. Определенный интеграл, его свойства Формула Ньютона-Лейбница

12. Приложения определенного интеграла

13. Конечномерные евклидовы пространства Rⁿ и Cⁿ.

14. Частные производные. Полный дифференциал. Дифференцирование сложных, неявных функций. Дифференцируемые отображения.

15. Экстремумы. Условный экстремум.

16. Производная по направлению. Градиент.

17. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

18. Сходимость и сумма ряда. Действия с рядами.

19. Признаки сходимости положительных рядов.

20. Знакопеременные ряды.

21. Разложение функции в степенной ряд. Приложения степенных рядов.     

22. Тригонометрические ряды. Ортогональные системы функций.

23. Преобразование и интеграл Фурье.

24. Абстрактная мера, её свойства. Интегралы Римана и Лебега.

25. Кратные интегралы, их свойства.

26. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 и 2 родов. Их свойства.

4. Теория вероятностей и математическая статистика

1. Вероятностное пространство. Классическая и геометрическая схема вероятности. Условная вероятность. Вероятность произведения и суммы.

2. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.

3. Дискретная и непрерывная случайные величины. Числовые характеристики случайных величин и их свойства.

4. Законы распределения. Предельные теоремы теории вероятностей. Условные распределения и их характеристики.

5. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределений и проверка гипотез. Статистические методы обработки экспериментальных данных.

6. Регрессия. Линейная и авторегрессия. Оценка доверительных интервалов параметров регрессионного уравнения.

5. Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения. Порядок дифференциального уравнения. Частное и общее решение. Интегральные кривые. Поле направлений. Задача Коши. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка.

3. Системы дифференциальных уравнений. Нормальный вид. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения.

4. Дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

6. Функциональный анализ

1. Метрические и топологические пространства.

2. Нормированные линейные пространства.

3. Гильбертовы пространства.

4. Пространства линейных операторов.

5. Функционалы. Сопряженное пространство.

6. Компактные операторы.

7. Компактные операторы.

8. Собственные значения оператора. Принцип сжимающих отображений.