ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Донской государственный технический университет

Кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

«Утверждаю»

Проректор по учебной работе

_____________А.С. Коробцов

« ___»______________2008г.

П Р О Г Р А М М А

Государственного экзамена

Специальности 010503

«Математическое обеспечение и администрирование

информационных систем»

Ростов-на-Дону

2008 г.

Программа государственного экзамена по специальности ВПО 010503 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»

утверждена на заседании кафедры ПО ВТ и АС « ___ » января 2008г., протокол № ____ и на совете специальности « ___ » января 2008г., протокол № ____.

Зав. кафедрой ПО ВТ и АС,

председатель совета специальности 010503

д.т.н., профессор ___________________Р.А. Нейдорф

«___»______________2008г.

Программа разработана

к.ф.-м..н. Золотаревым А.А., к.т.н. Землянухиным В.Н. и Толпинской Н.Б.

1. Общие положения

Итоговый междисциплинарный экзамен проводится по основным дисциплинам специальности с целью определения соответствия знаний, умений и навыков студентов требованиям государственного образовательного стандарта.

Государственный экзамен проводится в два этапа:

- экзамен по практическому программированию;

- экзамен по дисциплинам специальности и специализации.

1. Линейная алгебра и геометрия

1. Векторы. Линейные операции над векторами. Понятие векторного пространства, линейной зависимости, базиса, координат вектора.

2. Скалярное произведение, его свойства, геометрический смысл.

3. Векторное произведение, его свойства, геометрический смысл. Простейшие приложения векторного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл

4. Применение векторной алгебры к решению задач аналитической геометрии. Понятие аффинного пространства и аффинной системы координат. Изменение координат при изменении базиса Уравнения линии и поверхности, метод координат.

5. Прямая на плоскости. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

6. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

7. Прямая в пространстве. Параметрические и канонические уравнения прямой. Общие уравнения прямой. Переход от общих уравнений прямой к каноническим и обратно. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

8. Определение аффинных преобразований. Свойства аффинных преобразований. Представление аффинного преобразования в виде композиции гомотетии и движения плоскости. Понятие о группе аффинных преобразований.

9. Аффинные преобразования пространства, их свойства. Ортогональные преобразования. Различные виды движений и их классификация. Группа аффинных преобразований.

10. Вектор-функции 1 и 2 переменных, многомерная евклидова геометрия.

11. Дифференциальная геометрия кривых: кривизна и кручение, эвольвента.

12. База окрестностей, непрерывность, покрытия, компактные множества. Топология в метрических пространствах. Топологические преобразования и инварианты.

13. Топологическая размерность, размерность Хаусдорфа- Безиковича. Ковер Серпинского, кривая Пеано

2. Алгебра

1. Комплексные числа: определение и свойства операций. Модуль и аргумент комплексного числа, тригонометрическая форма комплексных чисел. Операции возведения в степень и извлечения корня в тригонометрической форме. Формула Муавра.

2. Кольцо многочленов. Построение кольца многочленов от одного переменного. Каноническая форма записи многочлена. Отношение делимости в кольце многочленов и его свойства. Деление с остатком. Значение и корень многочлена. Многочлен как функция. Теорема Безу. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида нахождения НОД и НОК. Свойства НОД.

3. Арифметические линейные пространства над полем и арифметические свободные модули над кольцом с единицей. Линейные преобразования арифметических линейных пространств и арифметических свободных модулей над кольцом с единицей. Матрицы линейных преобразований. Сложение матриц, умножение матриц на элемент кольца.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Эквивалентные системы и элементарные преобразования.

5. Понятие матрицы системы, ранга матрицы. Исследование решений систем линейных уравнений, теорема Кронеккера-Капелли.

6. Обратимость матриц. Обратная матрица. Критерий обратимости матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

7. Понятия линейного отображения и линейного оператора. Операции над операторами и их свойства. Алгебра операторов. Матрица линейного отображения. Операторы в Pⁿ. Понятие матрицы оператора.

8. Основные понятия теории групп. Примеры групп симметрий. Способы задания групп. Таблицы Кэли.

9. Группа подстановок. Теорема Кэли и ее следствия. Разложение подстановки в произведение циклов и транспозиций. Четные и нечетные подстановки. Корректность определения четности подстановки.

10. Понятие и примеры подгрупп. Критерий того, что подмножество группы было подгруппой. Подгруппа четных подстановок. Пересечение подгрупп. Произведение (сумма) подгрупп.

11. Линейные пространства. Примеры линейных пространств. Линейно независимые и полные системы векторов. Понятие базиса и размерности. Алгебры многочленов и квадратных матриц.

12. Подпространство. Способы задания подпространств. Операции над подпространствами. Теорема о связи размерностей пересечения, суммы подпространств и размерности объемлющего пространства. Алгоритмы нахождения пересечения и суммы подпространств.

13. Понятие евклидовой структуры и скалярного произведения. Понятие нормы вектора. Примеры евклидовых структур в разных линейных пространствах: пространствах функций, многочленов. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.

14. Понятие жордановой клетки и жордановой нормальной формы матрицы. Теорема о приведении матрицы линейного оператора к жордановой нормальной форме. Единственность жордановой формы. Алгоритмы нахождения жордановой нормальной формы и жорданова базиса. Упрощенный алгоритм для матриц 2 и 3 порядков.

15. Отображение, сопряженное данному в евклидовом и унитарном пространстве, его свойства. Сопряженный оператор. Матрица сопряженного оператора. Нормальные преобразования и их свойства. Самосопряженные операторы. Вид матрицы самосопряженного оператора. Примеры сопряженных и самосопряженных операторов. Ортогональные матрицы. Ортогональные (унитарные) преобразования. Вид матрицы таких преобразований. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

16. Билинейные и квадратичные формы. Связь между ними. Матрица билинейной и квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы над полем комплексных и вещественных чисел. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Ортогональная эквивалентность квадратичных форм. Одновременное приведение пары форм к каноническому виду.