3. Задача динамического программирования

Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой предприятиями (n=4), выделены капиталовложения в объеме S=150 тыс. руб. Использование i-м предприятием x_i тыс.руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции f_i(X_i), указанных в следующей таблице:

Объем капиталовложений Xi (тыс. руб.)	Прирост выпуска продукции fi(Xi) в зависимости от объема капиталовложений (тыс. руб.)
	предприятие 1	предприятие 2	предприятие 3	предприятие 4
0	0	0	0	0
30	16	15	14	17
60	38	29	35	36
90	48	42	47	48
120	62	58	65	68
150	78	80	79	84

Задание: составить оптимальный план распределения капиталовложений между предприятиями методом динамического программирования.

Решение

Функциональное уравнение Беллмана для нашей задачи имеет вид:

φ_n-1(x) = max(f_n-1 (x_n-1) + φ_n-2 (x-x_n-1))

Начинаем с первого предприятия. Для этого находим значения φ₁(x) для каждого X, принимающего значения 0, 30, 60, 90, 120, 150.

Пусть X =0, тогда φ₁(0)=0. Возьмем теперь X=30.

Получаем

Здесь первая строка соответствует решению X₁=0, а вторая строка – решению X₁=80. Так как при втором решении прирост выпуска продукции больше, чем при первом, то условно оптимальным решением является X₁=30.

Аналогично находим условно оптимальное решение для других значений X:

Результаты вычислений и полученные соответствующие условно оптимальные решения записываем в таблицу 2.

Таблица 2.

Объем капиталовложений X, выделяемых первому предприятию (тыс.руб.)	Максимальный прирост φi(x) выпуска продукции (тыс.руб.)	Условно оптимальный объем капиталовложений , выделяемых первому предприятию (тыс.руб.)
0	0	0
30	16	30
60	38	60
90	48	90
120	62	120
150	78	150

Используя данные табл.1 и 2, определим условно оптимальные объемы капиталовложений, выделяемых второму предприятию.

φ₂(0)=0,

Результаты вычислений и полученные соответствующие условно оптимальные решения записываем в таблицу 3.

Таблица 3.

Объем капиталовложений X, выделяемых двум предприятиям (тыс.руб.)	Максимальный прирост φi(x) выпуска продукции (тыс.руб.)	Условно оптимальный объем капиталовложений , выделяемых первому предприятию (тыс.руб.)
0	0	0
30	16	30
60	38	60
90	53	60
120	67	60
150	80	60

Используя данные табл.1 и 3, определим условно оптимальные объемы капиталовложений, выделяемых третьему предприятию.

φ₃(0)=0,

Результаты вычислений и полученные соответствующие условно оптимальные решения записываем в таблицу 4.

Таблица 4.

Объем капиталовложений X, выделяемых трем предприятиям (тыс.руб.)	Максимальный прирост φi(x) выпуска продукции (тыс.руб.)	Условно оптимальный объем капиталовложений , выделяемых первому предприятию (тыс.руб.)
0	0		0
30	16		0
60	38		0
90	53		0
120	73		60
150	88		60

Используя данные табл.1 и 4, определим условно оптимальные объемы капиталовложений, выделяемых четвертому предприятию.

Так как в данном случае число предприятий равно 4, то проводим вычисление лишь для одного значения X=150:

Следовательно, наибольший прирост выпуска продукции составляет 90 тыс.руб., при вложении 30 тыс. рублей в четвертое предприятие, а в первое, второе и третье – 120 тыс.руб., причем их можно разделить следующим образом:

1. Вложить в третье предприятие 60 и во второе и первое – 30 тыс.р.

2. Вложить во второе, третье и четвертое предприятие по 40 тыс. р.