2. Графический метод

Снова начнем решение с построения множества планов X, для чего проведем граничные прямые, уравнения которых получаются при замене в ограничениях знаков неравенств на равенства:

Z=0 - линия уровня

Z₁ = 0,3X₁ + 0,2X₂ = 45

Z₂ = 0,2X₁ + 0,4X₂ = 65

Z₃ = 1,4X₁ + 1,6X₂ = 395

Для построения графиков находим точки по которым будут проходить прямые Х1 и Х2.

1. 0,3X₁ + 0,2X₂ = 45; 0,3*1 + 0,2X₂ = 45; 0,2X₂ = 44,7; X₂ = 223,5

Х1	0	1
Х2	225	220

2. 0,2X₁ + 0,4X₂ = 65; 0,2*1 + 0,4X₂ = 65; 0,4X₂ = 64,8; X₂ = 162

Х1	0	1
Х2	162,5	162

3. 1,4X₁ + 1,6X₂ = 395; 1,4*1 + 1,6X₂ = 395; 1,6X₂ = 393,6 ; X₂ = 246

Х1	0	1
Х2	246,8	246

Тогда целевая функция Z = 7*325 + 9*0 = 2275 (руб)

Ответ: Максимальная прибыль в рублях ровна 2275 рублей.

2. Транспортная задача.

На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110,190 и 90 т муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к каждому из хлебозаводов задаются матрицей:

L =

Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость является минимальной.

Требуется:

1. Найти опорный план перевозок данной транспортной задачи методом минимального элемента;

2. Найти оптимальный план перевозок методом потенциалов.

Решение

1)Строим распределительную таблицу и начинаем ее заполнять с той клетки, в которой наименьший тариф.

	B1	B2	B3	B4	Запасы
А1	8	1/60	9	7/50	110/50/0
А2	4/20	6	2/170	12	190/20/0
А3	3/60	5	8	9/30	90/80/0
Потребности	80/0	60/0	170/0	80/30/20/10/0

F-минимальное значение

F= 1*60 + 7*50 + 4*20 + 2*170 + 3*60 + 9*30 = 1280

2)Метод потенциалов

Общий принцип определения оптимального плана транспортной задачи: сначала находят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до получения оптимального плана.

Если для некоторого опорного плана X*=(х*ij) (i=1,2,…, m; j=1,2,…, n) транспортной задачи существуют такие числа A1, A2, …, Am, B1, B2,…, Bn, что

Bj – Ai = cij при хij > 0,

Bj – Ai ≤ cij при хij = 0

для всех i=1,2,…, m; j=1,2,…, n, то X*=(х·хij) – оптимальный план транспортной задачи.

Числа Ai и Bj (i=1,2,…, m; j=1,2,…, n) называются потенциалами соответственно пунктов назначения и пунктов потребления.

Сформулированная теорема позволяет построить алгоритм нахождения решения транспортной задачи. Для каждого из пунктов отправления и назначения определяют потенциалы Ai и Bj (i=1,2,…, m; j=1,2,…, n). Эти числа находят из системы уравнений

Bj – Ai = cij, (1)

где cij – тарифы, стоящие в заполненных клетках таблицы условий транспортной задачи.

Получаем: для заполненных клеток

B₂ – A₁ = 1

B₄ – A₁ = 7

B₁ – A₂ = 4

B₃ – A₂ = 2

B₁ – A₃ = 3

B₄ – A₃ = 9

A₁ = 0

A₂ = -3

A₃ = -2

B₁ = 1

B₂ = 1

B₃ = - 1

B₄ = 7

Для свободных клеток:

После того как все потенциалы найдены, для каждой из свободных клеток определяют числа Aij = Bj – Ai – Cij

A₁₁ = B₁ – A₁ – 8 = 1 – 0 – 8 = -7

A₁₃ = B₃ – A₁ – 9 = -1 – 0 – 9 = -10

A₂₂ = B₂ – A₂ – 6 = 1 –(-3) – 6 = -2

A₂₄ = B₄ – A₂ – 12 = 7 –(-3) – 12 = -2

A₃₂ = B₂ – A₃ – 5 = 1 –(-2) – 5 = -2

A₃₃ = B₃ – A₃ – 8 = -1 – (-2) – 8 = -7

Если среди чисел Aij нет положительных, то найденный опорный план является оптимальным.

Ответ: Найденный опорный план минимальный.