Задача линейного программирования
Для производства трех видов продукции используются три вида сырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблицах вариантов. Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при заданном дополнительном ограничении. Оценить каждый из видов сырья, используемых для производства продукции.
Требуется:
построить математическую модель задачи;
привести задачу к каноническому виду, используя метод Джордана-Гаусса
решить графическим методом
решить задачу с использованием программного продукта Excel
Таблица 1.1
-
Продукция
Сырье
А
В
С
Запасы сырья, ед.
I
3
2
-
18
II
-
1
1
4
III
1
2
-
10
Прибыль, ден. ед.
2
5
1
Необходимо, чтобы сырье II вида было израсходовано полностью.
Решение:
Возьмем
за Х1 – количество изделий 1
за Х2 – количество изделий 2
за Х3 – количество изделий 3
Построим математическую модель задачи
Z (x) = + + max
+ ≤ 18
+ = 4
+ ≤ 10
Xj ≥ 0, j
Условие n-r<=2
Приведем задачу к каноническому виду, используя метод Джордана-Гаусса.
Таблица 1.2
x1 x2 x3 B
3 2 0 18
1 1 0 10 (*-3) (*-2)
2 5 1 0
0 -1 0 -12 (*-1)
1 1 0 10
0 3 1 -20
0 1 0 12 (*-1) (*-3)
1 1 0 10
0 3 1 -20
0 1 0 12
1 0 0 -2
0 0 1 -56
Z(x)= x3+56 max
x 2 ≤ 12
x1 ≤ -2
x2 + x3 ≤ 4
xj ≥ 0, j
Решим задачу графическим методом.
n= (с1;с2)
n= (4)
рис. 2.1 Графический метод решения ЗЛП
О твет: решений нет ввиду неограниченности функций, z ∞
Транспортная задача
Товары с n баз поставляются в m магазинов. Потребности магазинов в товарах равны bj тысяч единиц, где j = 1…n. Запасы товаров на базах составляют аi - тысяч единиц, i = 1…т. Затраты на перевозку 1 тысяч единиц товара в денежных единицах представлены матрицей затрат Сnхm. Запланировать перевозку с минимальными затратами.
свести исходные данные в таблицу;
a = (12;14;8;10)
b = (9;11;7;6;9)
Решение:
Таблица 2.1
Ai Bj 9 11 7 6 9
12 8 7 6 5 8
14 9 5 8 4 6
8 2 6 4 5 7
10 7 4 6 8 5
z (x)=8* +7* +6* +5* +8* +9* +5* +8* +4* +6* +2* +6* +4* +5* +7* +7* +4* +6* +8* +5* min
+ + + + =12
+ + + + =14
+ + + + =8
+ + + + =10
+ + + =9
+ + + =11
+ + + =7
+ + + =6
+ + + =9
X ≥ 0,
Проверим правильность баланса :
∑ai=44 , запасы поставщиков
∑bj=42, запросы потребителей
∑ai≠∑bj
A6=∑bj-∑ai=44-42=2
Эта задача с неправильным балансом, вводим шестого фиктивного поставщика, с нулевыми стоимостями перевозок груза. Находим опорное решение методом минимальной стоимости.
Таблица 2.2
V1 V2 V3 V4 V5 V6
Ai Bj 9 11 7 6 9 2
U1 12 18 7 76 5 28 20
U2 14 9 15 8 64 76 0
U3 8 82 6 4 5 7 0
U4 10 7 104 6 8 5 0
C=
Проверяем правильность опорного решения: m+n-1=10-1=9
Z(x)= 1*8+7*6+2*8+1*5+6*4+7*6+8*2+10*4=193
U1+V1=8 U1=0
U1+V3=6 U2=6 - V5 = 6 – 8 = -2
U1+V5=8 U3=2-V1=2-8= -6
U1+V6=0 U4=4-V2=4-7= -3
U2+V2=5 V1=8-U1=8-0=8
U2+V4=4 V2=5-U2=5-(-2)=7
U2+V5=6 V3=6-U1=6-0=6
U3+V1=2 V4=4-U2=4-(-2)=6
U4+V2=4 V5=8-U1=8-0=8
V6=0-U1=0-0=0
Ө=min{6,2}= 2
Таблица 2.3
V1 V2 V3 V4 V5 V6
Ai Bj 9 11 7 6 9 2
U1 12 18 7 7 6 5 28 2 0
U2 14 9 1 5 8 6 4 7 6 0
U3 8 82 6 4 5 7 0
U4 10 7 10 4 6 8 5 0
Таблица 2.4
V1 V2 V3 V4 V5 V6
Ai Bj 9 11 7 6 9 2
U1 12 18 7 76 25 28 20
U2 14 9 15 8 44 76 20
U3 8 82 6 4 5 7 0
U4 10 7 104 6 8 5 0
U1+V1=8 U1=0
U1+V3=6 U2=0-V6=0-0=0
U1+V4=5 U3=2-V1=2-8= -6
U1+V5=8 U4=4-V2=4-5= -1
U1+V6=0 V1=8-U1=8-0=8
U2+V2=5 V2=5-U2=5-0=5
U2+ V4=4 V3=6-U1=6-0=6
U2+ V5=6 V4=5-U1=5-0=5
U2+ V6=0 V5=8-U1=8-0=8
U3+V1= 2 V6=0-U1=0-0=0
U4+V2=4
Таблица 2.5
V1 V2 V3 V4 V5 V6
Ai Bj 9 11 7 6 9 2
U1 12 18 7 76 25 28 20
U2 14 + 9 15 8 44 - 76 20
U3 8 - 82 + 6 4 5 7 0
U4 10 7 - 104 6 8 + 5 0
Таблица 2.6
V1 V2 V3 V4 V5 V6
Ai Bj 9 11 7 6 9 2
U1 12 18 7 76 25 28 0*0
U2 14 79 15 8 44 0*6 2 0
U3 8 12 7 6 4 5 7 0
U4 10 7 34 6 8 75 0
U 1+V1=8 U1=8-V1=8-9= -1
U1+V3=6 U2=0
U1+V4=5 U3=2-V1=2-9= -7
U1+V5=8 U4=4-V2=4-5= -1
U1+V6=0 V1=9-U2=9-0=9
U2+V1=9 V2=5-U2=5-0=5
U2+V2=5 V3=6-U1=6-(-1)=7
U2+V4=4 V4=4-U2=4-0=4
U2+V5=6 V5=6-U2=6-0=6
U2+V6=0 V6=0-U2=0-0=0
U3+V1=2
U3+V2=6
U4+V2=4
U4+V5=5
Таблица 2.7
V1 V2 V3 V4 V5 V6
Ai Bj 9 11 7 6 9 2
U112 18 7 76 25 28 0*0
U214 79 15 8 44 0*6 2 0
U38 -12 7 6 4 5 + 7 0
U410 +7 34 6 8 -75 0
U 1+V1=8 U1=5-V4=5-4= -1
U1+V3=6 U2=0
U1+V4=5 U3=2-V1=2-9= -7
U1=V5=8 U4=7-V1=7-9= -2
U1+V6=0 V1=9-U2=9-0=9
U2+V1=9 V2=5-U2=5-0=5
U2+V2=5 V3=6-U1=6-1=5
U2+V4=4 V4=4-U1=4-0=4
U2=V5=6 V5=6-U1=6-0=6
U2+V6=0 V6=0-U1=0-0=0
U3+V1=2
U3+V2=6
U3+V5=7
U4+V1=7
U4+V2=4
U4+V5=5
Таблица 2.8
V1 V2 V3 V4 V5 V6
Ai Bj 9 11 7 6 9 2
U1 12 18 7 76 25 28 0*0
U2 14 79 15 8 44 0*6 20
U3 8 0*2 7 6 4 5 17 0
U4 10 17 34 6 8 6 5 0
Z(x)1*8+7*6+2*5+2*8+7*9+1*5+4*4+7*6+1*7+1*7+3*4+6*5=8+42+10+16+63+5+16+42+7+7+12+30=258
Ответ: z(x)=258, при x=