2.4 Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения в виде ряда, многоугольника или функции распределения является полной характеристикой случайной величины. Однако на практике бывает достаточно знать некоторые числовые параметры, характеризующие изучаемые процессы.
Числовыми характеристиками случайных величин называют неслучайные величины, каждая из которых характеризует те или иные свойства случайных величин.
2.4.1 Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (МО) случайной величины называют ее среднее значение, определяемое по следующим формулам.
Для случайных дискретных величин МО равно
,
где
- частное значение случайной дискретной
величины;
- вероятность ее появления.
Для случайной непрерывной величины МО определяется выражением
,
где x
– частное значение случайной непрерывной
величины; f(x)dx
– элемент вероятности.
Математическое ожидание случайной величины представляет собой центр, около которого группируются частные значения ее.
Свойства математического ожидания:
а) математическое ожидание случайной величины может быть положительным и отрицательным, целым и дробным, и обладает размерностью случайной величины;
б) не все случайные
величины имеют МО. Случайные величины
не имеют МО, если
или
;
в) математическое
ожидание постоянной величины равно
самой постоянной величине, т.е.
.
г) постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
.
Частный случай
математического ожидания. Пусть случайная
величина X
может принимать только два частных
значения
.
Тогда вероятности появления этих частных
значений будут равны
.
Откуда математическое
ожидание
.
Следовательно, математическое ожидание такой случайной величины равна вероятности того, что случайная величина примет значение равное единице.
Пример 1: В технической системе имеется n элементов. Вероятность выхода из строя элемента в течении N часов работы равна p. Требуется определить математическое ожидание числа отказавших элементов в течении N часов работы.
Решение.
Обозначим через X – случайную величину числа отказавших элементов, а через M[X] - математическое ожидание этого числа.
Для использования
формулы математического ожидания
определяем из условия задачи, что
случайная величина X
принимает
частные значения
,
причем
.
Тогда математическое ожидание числа отказавших элементов будет равно
.
Отсюда следует, что если случайная величина X подчиняется биномиальному закону, то ее МО равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.
2.4.2 Дисперсия случайной величины
Кроме положения центра группирования случайной величины, о котором несет информацию математическое ожидание, важно знать разброс или рассеяние значений случайной величины относительно центра группирования.
Для этого рассмотрим
разность
,
которую называют центрированной
случайной величиной или отклонением
от МО, ее МО всегда равно нулю.
Поэтому для характеристики разброса возможных значений случайной величины пользуются не средним значением отклонения, а средним значением квадрата отклонения случайной величины от МО.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:
или
.
Из определения дисперсии вытекают формулы для вычисления ее:
а) для случайной дискретной величины
,
или
;
б) для случайной непрерывной величины
,
или
.
Дисперсия позволяет оценивать кучность (разброс) значений случайной величины около ее математического ожидания и является неслучайной величиной.
Свойства дисперсии:
а) дисперсия всегда положительна и имеет размерность квадрата размерности случайной величины;
б) дисперсия
постоянной величины равна нулю, т.е.
.
в) постоянный
множитель при постоянной величине можно
выносить за знак дисперсии в квадрате
;
г) величина дисперсии не зависит от начала отсчета.
Частный случай дисперсии.
Пусть случайная
величина X
принимает частные значения
с вероятностью
и
с вероятностью
.
Тогда
.
Средне - квадратичное отклонение.
Так как размерность дисперсии равна размерности квадрата случайной величины, что вызывает неудобства ее использования, то вводят характеристику с размерностью случайной величины. Такой числовой характеристикой является средне - квадратичное отклонение случайной величины, которое определяется как квадратный корень из дисперсии:
.