4. Кинематика вращательного движения

Поступательное и вращательное движение

В данном примере траектория центра масс - окружность, остальные точки тела также движутся по окружностям , но центры этих окружностей не лежат на одной прямой.

а) поступательное движение. Любая линия, проведенная в твердом теле, при движении остается параллельной самой себе.

Здесь, как и в предыдущем примере а), центр масс тела движется по той же окружности.

б) вращательное движение, центр масс движется по окружности того же радиуса. Каждая точка твердого тела движется по своей окружности; центры всех окружностей лежат на прямой, называемой осью вращения.

Псевдовектор бесконечно малого поворота

При повороте тела на угол dφ, вводят псевдовектор бесконечно малого поворота . В правой системе координат направление определяют правилом правого винта: винт, расположенный вдоль оси, вращается вместе с телом, направление его поступательного движения определяет направление псевдовектора. В левой системе координат направление псевдовектора изменится на обратное, истинный вектор при этом не меняет направления.

Угловая скорость

,   или   .      Псевдовектор направлен так же, как и псевдовектор . Угловое ускорение

Связь линейной скорости материальной точки твердого тела и угловой скорости

откуда получаем важную связь линейной и угловой скоростей или векторно , где радиус вектор с началом на оси.

Связь линейного ускорения материальной точки твердого тела с угловой скоростью и угловым ускорением

Продифференцируем по времени:

, ,

   следовательно, или векторно .

, заменяя V на , получим .

Полное ускорение .

Зачем нужна векторная запись этих соотношений (?!!!)

Пример ускоренного движения м. точки в положительном направлении (вперёд).

М одуль векторного произведения

Пример замедленного движения м. точки в отрицательном направлении (назад).

Векторное произведение – правая тройка векторов (правый винт) – вычисление через определитель:

Векторы имеют проекции: ; , тогда в общем виде

.

Проекции вектора

; ; .

При наличии только одной проекции угловой скорости и двух проекций радиуса вектора получим для линейной скорости только y-ю проекцию .

Кинематический закон вращательного движения.

1. Из определения углового ускорения находится угловая скорость как функция времени: . (₀ – константа интегрирования).

2. Из определения угловой скорости находится угол как функция времени: . (₀ – константа интегрирования).

Для частного случая , получаем закон равнопеременного движения по окружности: – квадратичная зависимость угла поворота от времени

и линейная зависимость угловой скорости от времени .

При этом одинаковым знакам для угловых скорости и ускорения соответствует ускоренное движение, а разным знакам – замедленное.