2. Динамика материальной точки

Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона

Инерциальная система отсчета - это система отсчета, в которой тела, не подверженные воздействию других тел, движутся прямолинейно и равномерно. Первый закон Ньютона:

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

С ила - векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело других тел. Величину силы можно определить опытным путем, используя прибор для измерения силы - динамометр.

Масса тела, m, - скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Импульс материальной точки - это вектор, равный, в механике Ньютона, произведению массы точки на ее скорость.

Второй закон Ньютона Скорость изменения импульса равна действующей на материальную точку результирующей силе: .

,       где      

п ри m ≠ m(t)

т .к

то

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению. Пример - взаимодействие двух электрических зарядов:

Из третьего закона Ньютона следует, что для каждой силы можно указать тело, являющееся причиной этой силы. Если же указать такое тело - причину возникшей силы - не удается, то тогда причина "силы" - неинерциальность системы отсчета. Напомним, что законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета.

Уравнения движения.

Второй закон механики (з. Ньютона) позволяет записать уравнение движения тела (м.т.): это уравнение вида , из которого путем двойного интегрирования находится закон движения при задании шести начальных условий. Это уравнение эквивалентно трем скалярным неоднородным дифференциальным уравнениям второго порядка (в общем случае трёхмерного движения).

Для системы N тел необходимо интегрировать 3N уравнений с 6N начальными условиями. Сложность этих уравнений определяется видом сил. В общем случае силы могут зависеть от координат всех тел, их скоростей и времени (всего 6N +1 переменных). Аналитически эта задача разрешима только для системы двух тел, взаимодействующих гравитационно – задача Кеплера. Уже для трех тел (Солнце, Земля, Луна) эта задача в квадратурах не разрешима.

Пример интегрирования уравнений движения в одномерном случае: прыжок парашютиста. Человек массы m прыгает с высоты h₀, а через t секунд раскрывает парашют – пример тела, двигающегося в вязкой среде с коэффициентом аэродинамического сопротивления r. Кроме постоянной силы тяжести на него действует аэродинамическая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости .

Уравнение движения запишем в виде . Перепишем в виде, удобном для интегрирования и проинтегрируем, В результате найдём зависимость времени от скорости Обратная зависимость скорости от времени , где – характерное время. Зависимость y-вой координаты от времени .

Начальная высота h₀ = 1000 м, начальная скорость V₀ = 0.