2.6. Принцип наложения и взаимности Цель работы

Изучить методы расчета, основанные на принципах наложения и взаимности.

Общие теоретические положения

Для линейных электрических цепей постоянного тока с источниками ЭДС и резистивными элементами согласно принципу наложения ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов в этой ветви (частичных токов) при действии каждого источника порознь, остальные источники заменяются резистивными элементами с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлением соответствующих источников.

Для самых различных расчетов линейных цепей часто применяется метод наложения (суперпозиции), который может быть применен ко всем электрическим процессам, описываемым линейными уравнениями.

При расчете сложной электрической цепи методом контурных токов ток k -

ой ветви, выбранной таким образом, что он численно равен контурному току k - ого контура I_kk и при условии, что контурная ЭДС представлена алгебраической суммой ЭДС отдельных ветвей, может быть представлен в виде

, (6.1)

где: I_k – ток k-той ветви, входящей только в k-й контур;

g_kk- собственная проводимость ветви;

g_kn- взаимная проводимость ветвей k и n;

m – число ветвей, содержащих источники ЭДС.

Из формулы (6.1) следует, что собственная проводимость ветви есть отношение тока в k -ой ветви к источнику ЭДС этой же ветви при условии, что все остальные источники ЭДС равны нулю:

. (6.2)

Взаимная проводимость n -ой и k -ой ветвей определяется как отношение тока n -ой ветви к источнику ЭДС в k -ой ветви при условии, что все остальные источники ЭДС отсутствуют:

. (6.3)

Для линейных цепей выполняется принцип взаимности. Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток k -ой ветви, вызванный источником ЭДС Е_m, находящимся в m -ой ветви (I_k=E_m g_km), равен току I_m m -ой ветви, вызванному источником ЭДС Е_k (численно равно ЭДС Е_m) , находящимся в k -ой ветви (I_m=E_k g_mk).

Это возможно при условии, что

. (6.4)

Так как взаимная проводимость g_km определяется как отношение алгебраического дополнения ∆_km к главному определителю системы уравнений, составленной по методу контурных токов, ∆, т. е.

, а 

и учитывая симметрию ∆ относительно главной диагонали, следует вывод, что

;

.

План работы

1. Собрать схему и установить параметры ЭДС и сопротивлений в соответствии с вариантом студента (схемы (рис.2.6.1) и табл. 2.6.1).

2. Провести измерения режимов работы схемы, указанных в табл. 2.6.2, результаты измерений внести в табл. 2.6.2.

Примечание. При исключении источника ЭДС из схемы заменить его резистором, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС.

Рис. 2.6.1. Расчетные и экспериментальные схемы для вариантов 1 – 4

Таблица 2.6.1.

№ вари анта	Параметры
	E1, В	E2, В	E3, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом
1 2 3 4	10 8 5 —	5 5 — 5	— — 10 6	100 200 200 300	200 400 100 200	100 400 300 100

3. По результатам измерений п.2 определить собственные и взаимные проводимости всех ветвей и внести полученные данные в табл. 2.6.3

Таблица 2.6.2.

Источник ЭДС	Токи ветвей
	I1, мА	I2, мА	I3, мА	∑Ik, мА
Em
Ek
Em, Ek

Таблица 2.6.3.

Собственные и взаимные проводимости
g11, См	g22, См	g33, См	g13, См	g31, См	g12, См	g21, См	g23, См	g32, См

3. Сравнить результаты расчетных и экспериментальных данных.

В случае больших расхождений объяснить причины несовпадения теоретических и экспериментальных данных.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте принцип наложения.

2. Почему нельзя принцип наложения использовать для расчета мощности.

3. Сформулируйте принцип взаимности.

4. Как определяется собственная проводимость ветви.

5. Как определяется взаимная проводимость ветви.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Шлык Ю.К., Кречина Г.С. Курс лекций по теории электрических цепей. Ч.1, Тюмень, 2002.

2. Шлык Ю.К., Кречина Г.С. Курс лекций по теории электрических цепей.

Ч.1. Тюмень, 2007.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи.- М.: Гардарики, 2006.- 704 с.