Ответы на экзаменационные вопросы по АиГ / 34

34.

Векторное произведение векторов

Определение 6.2. Вектор с называется векторным произведением векторов а и b, если:

1. |c| = |a||b|sinφ, где φ – угол между а и b.

2. ca, cb.

3. Тройка векторов abc является правой.

Обозначения векторного произведения: c = [ab], c = ab.

Свойства векторного произведения.

1. [ba] = - [ab].

Доказательство. Вектор -с удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами b и а правую тройку векторов.

2. [ab] = 0 a ║ b.

Доказательство. Из первого пункта определения 6.2 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов а и b.

3. Модуль векторного произведения |[ab]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.

Доказательство следует из первого пункта определения 6.2.

Определение 6.3. Орт е_а произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный ( | е_а| = 1, е_а || a).

Cледствие из свойства 3. [ab] = Se, где е – орт вектора [ab].

4. [(ka)b] = k[ab].

5. [(a + b)c] = [ac] + [bc].

6. Если в декартовой системе координат a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, то

[ab] =

Доказательство.

Представим векторы а и b в виде: a = X_ai + Y_aj +Z_ak, b = X_bi + Y_bj +Z_bk. Отметим, что [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j, [ii] = [jj] = [kk] = 0. Тогда с использованием свойств 4 и 5 получим:

[(X_ai + Y_aj + Z_ak)(X_bi + Y_bj + Z_bk)] =(Y_aZ_b – Y_bZ_a)i + (X_bZ_a – X_aZ_b)j + (X_aY_b – X_bY_a)k, что доказывает свойство 6.

Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = {3, -4, 2} и b = {1, 5, 1}.

[ab] = ={-14, -1, 19}.