3.
Геометрическая интерпритация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Рассмотрим на плоскости декартову
прямоугольную систему координат
.
Каждому комплексному числу
можно
сопоставить точку с координатами
,
и наоборот, каждой точке с координатами
можно
сопоставить комплексное число
.
Таким образом, между точками плоскости
и множеством комплексных чисел
устанавливается взаимно однозначное
соответствие. Поэтому комплекные числа
можно изображать как точки плоскости.
Плоскость, на которой изображают
комплексные числа, обычно называют
комплексной плоскостью.
Пример 17.3
Изобразим на комплексной плоскости
числа
,
,
,
,
:
Рис.17.1.Изображение комплексных чисел точками плоскости
Однако чаще комплексные числа изображают
в виде вектора с началом в точке
,
а именно, комплексное число
изображается
радиус-вектором точки с координатами
.
В этом случае изображение комплексных
чисел из предыдущего примера будет
таким:
Рис.17.2.Изображение комплексных чисел векторами
Отметим, что изображением суммы двух
комплексных чисел
,
является
вектор, равный сумме векторов, изображающих
числа
и
.
Иными словами, при сложении комплексных
чисел складываются и векторы, их
изображающие (рис. 17.3).
Рис.17.3.Изображение суммы комплексных чисел
Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть
.
Положим
,
.
Из рисунка 17.4
очевидно, что
Тогда
.
Это выражение запишем в виде
(17.8)
Последняя запись называется
тригонометрической формой комплексного
числа. В отличие от нее запись числа в
виде
называют
иногда алгебраической формой
комплексного числа.
Отметим, что тригонометрическая форма
-- это указание числа по двум его
характеристикам: модулю и аргументу.
Поэтому вместо формулы (17.8)
можно было бы просто записывать пару
,
но запись (17.8)
принята в силу традиции.
Замечание
17.3 При записи числа в тригонометрической
форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения
и
,
иначе мы потеряем явное указание
аргумента
и
снова вернемся к алгебраической форме.
Кроме того, если угол
получился
отрицательным, то знак "
" НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и
НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.