37.
Расстояние от точки до плоскости
Предложение
11.1 Пусть плоскость
задана
уравнением
и
дана точка
.
Тогда расстояние
от
точки
до
плоскости
определяется
по формуле
(11.7)
Доказательство.
Расстояние от точки
до
плоскости 
-- это, по определению, длина перпендикуляра
,
опущенного из точки
на
плоскость
(рис. 11.9).
Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости
Вектор
и
нормальный вектор n плоскости
параллельны,
то есть угол
между
ними равен 0 или
,
если вектор n имеет направление
противоположное, указанному на рис.
11.9. Поэтому
Откуда
(11.8)
Координаты точки
,
которые нам неизвестны, обозначим
.
Тогда
.
Так как
,
то
.
Раскрыв скобки и перегруппировав
слагаемые, получим
(11.9)
Точка
лежит
на плоскости
,
поэтому ее координаты удовлетворяют
уравнению плоскости:
.
Отсюда находим, что
.
Подставив полученный результат в
формулу (11.9),
получим
.
Так как
,
то из формулы (11.8)
следует формула (11.7).