5.
Извлечение корня из комплексного числа
Заголовок этого раздела является не
совсем точным. Дело в том, что корень из
ненулевого комплексного числа однозначно
определить нельзя. Он всегда имеет
столько значений, какова его степень.
Поэтому в данном разделе мы будем
говорить о решении уравнения
(17.14)
где неизвестным служит
,
а
--
известное комплексное число. Но поскольку
в школе решение этого уравнения
записывалось в виде
,
то, не слишком соблюдая математическую
строгость, можно говорить, что мы будем
извлекать корень
-ой
степени из комплексного числа
.
Итак, решаем уравнение (17.14).
Если
,
то
.
Пусть
.
Запишем число
в
тригонометрической форме:
.
Здесь
и
--
известные величины. Запишем неизвестное
число
в
тригонометрической форме:
.
Здесь
и
--
неизвестны. По формуле Муавра
Таким образом,
Если два комплексных числа равны, то их
модули должны быть равны. Поэтому
.
В этом соотношении
и
--
положительные числа, следовательно
,
где справа стоит обычный арифметический
корень из положительного числа.
Если два комплексных числа равны, то
аргументы у них могут различаться только
на величину, кратную
.
Поэтому
,
.
Отсюда находим, что
В итоге получили:
(17.15)
Значения
,
отличные от указанных в этой формуле,
дадут те же значения
,
которые можно получить при
Пример 17.9
Найдите корни уравнения
.
Решение. Запишем число
в
тригонометрической форме:
то есть
,
.
Тогда
При
получим:
При
получим:
При
получим:
При
получим:
Ответ:
,
,
,
.