24.
Однородная система уравнений
Предложение
15.2 Однородная система уравнений
всегда является совместной.
Доказательство. Для
этой системы набор чисел
,
,
,
является
решением.
В этом разделе мы будем использовать
матричную запись системы:
.
Предложение 15.3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.
Доказательство.
Пусть
и
служат
решениями системы
.
Тогда
и
.
Пусть
.
Тогда
Так как
,
то
--
решение.
Пусть
--
произвольное число,
.
Тогда
Так как
,
то
--
решение.
Следствие 15.1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.
Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.
Определение
15.5 Будем говорить, что решения
системы
образуют
фундаментальную систему решений,
если столбцы
образуют
линейно независимую систему и любое
решение системы является линейной
комбинацией этих столбцов.
Определение
15.6 Пусть
--
фундаментальная система решений
однородной системы
.
Тогда выражение
где
--
произвольные числа, будем называть
общим решением системы
.
Из определения фундаментальной системы
решений следует, что любое решение
однородной системы может быть получено
из общего решения при некоторых значениях
.
И наоборот, при любых фиксированных
числовых значениях
из
общего решения получим решение однородной
системы.
Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".
Теорема
15.3 Пусть
--
фундаментальная система решений
однородной системы
.
Тогда
,
где
--
число неизвестных в системе.
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а любое другое решение является их
линейной комбинацией. Вектор-решения
образуют
нормированную фундаментальную систему.
В линейном пространстве
множество
решений однородной системы линейных
уравнений образует подпространство
размерности n - r;
-
базис этого подпространства.