21. Теорема о базисном миноре.
Теорема: В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.
Пример: Определить ранг и найти
базисные миноры матрицы
Решение.
Сложим соответствующие элементы первой
и третьей строк, а затем разделим на 4
элементы первой строки. Из элементов
первой строки вычтем соответствующие
элементы второй строки, после чего
вычеркнем первую строку:
r(A)=2.
А базисными минорами являются три минора
второго порядка этой матрицы, отличные
от нуля:
