27.
Матрицы элементарных преобразований строк
Матрица линейного преобразования
В примере
19.4 было показано, что преобразование
-мерного
пространства, заключающееся в умножении
координатных столбцов векторов на
фиксированную матрицу, является линейным
преобразованием. В этом разделе мы
покажем, что все линейные преобразования
конечномерного пространства устроены
таким же образом.
Пусть
--
-мерное
линейное пространство, в котором задан
базис
,
--
линейное преобразование. Возьмем
произвольный вектор
.
Пусть
--
его координатный столбец. Координатный
столбец вектора
обозначим
.
Запишем разложение вектора
по
базису пространства
.
Для образа этого вектора получим
(19.2)
Векторы
имеют
какие-то координатные столбцы, обозначим
их
,
,
...,
соответственно.
В этой записи первый индекс показывает
номер координаты, а второй индекс --
номер вектора. Соответственно,
Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования
Это равенство означает, что
-той
координатой вектора
служит
.
Составим матрицу
из
координатных столбцов векторов
,
...,
Вычислим произведение матрицы
на
столбец
Мы видим, что
-ый
элемент столбца совпадает с
-ой
координатой вектора
.
Поэтому
(19.3)
Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.
Матрица
называется
матрицей линейного преобразования
.
Еще раз напомним, как она составлена:
первый столбец является координатным
столбцом образа первого базисного
вектора, второй столбец -- координатным
столбцом образа второго базисного
вектора и т.д.
Пример 19.5
Найдем матрицу линейного преобразования
из
примера
19.1.
Выберем какой-нибудь базис
.
Тогда
Следовательно, первый столбец матрицы
имеет
вид
.
Аналогично
Второй столбец матрицы
имеет
вид
.
В итоге
